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1、第四章 多抽样率信号处理,4.1 信号的抽取与插值 4.2 滤波器组基础 4.3 两通道滤波器组,4.1 信号的抽取与插值,引言 信号的抽取 信号的插值 抽取与插值相结合的抽样率转换 信号的多相表示,引言,“多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。 抽取与插值 滤波器组,信号的抽取,减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取”。 时域表示：,抽取的框图 注：见胡广书现代信号处理教程图5.2.1,频域表示：,将信号 作M倍的抽取后，所得信号 的频谱等于原信号 的频谱先作M倍的扩展，再在 轴上作 的移位，幅度降为原来的1/M后再叠加。,图5.2.2 信号抽取后频谱的变化
2、 注：见胡广书现代信号处理教程图5.2.2,M=3,注：见杨绿溪现代数字信号处理图8.3,M=2,抽取滤波器的频响特性： 由于M是可变的，所以很难要求在不同的M下都能保证 。 防止抽取后在 中出现混叠的方法是在对 抽取前先进行低通滤波，压缩其频带。,图5.2.4 先滤波再抽取后的频谱的变化 注：见胡广书现代信号处理教程图5.2.4,信号的插值,增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值”。 时域表示：,图5.3.1信号的插值 注：见胡广书现代信号处理教程图5.3.1,频域表示：,图5.3.2 插值后对频域的影响 注：见胡广书现代信号处理教程图5.3.2,插值滤波器的频响特性： 实现有效插值的方
3、法是将 再通过一个低通滤波器，即,图5.3.3 插值后的滤波 注：见胡广书现代信号处理教程图5.3.3,抽取与插值相结合的抽样率转换,图5.4.1 插值后的滤波 注：见胡广书现代信号处理教程图5.4.1,信号的多相表示,使用多相表示可在抽样率转换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算的速度。,图5.2.1信号抽取示意图，M=3, 横坐标为抽样点数 注：见胡广书现代信号处理教程图5.2.1,例如：,恒等关系,两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加。,信号延迟M个样本后作 M倍抽取和先抽取再延迟一个样本是等效的。,在M倍抽取器的前后，滤波器的z的幂相差M倍。,注：
4、见胡广书现代信号处理教程图5.6.1-图5.6.6,基于多相分解的抽取和插值滤波器实现,抽取的滤波器实现：,注：见胡广书现代信号处理教程图5.7.1,基于多相结构的信号抽取：,注：见胡广书现代信号处理教程图5.7.3,4.2 滤波器组基础,滤波器组的基本概念 滤波器组的种类及有关滤波器,滤波器组的基本概念,一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出。,注：见胡广书现代信号处理教程图6.1.1,失真来源： 混叠失真； 幅度和相位失真； 抽取后处理产生的误差。,滤波器组的种类及有关滤波器,最大均匀抽取滤波器组 正交镜像滤波器组 第M带滤波器 半带滤波器 互补型滤波器,1、最大
5、均匀抽取滤波器组,均匀滤波器组：设某一滤波器有K个分析滤波器H0(z),HK-1(z)，这K个滤波器有如下关系：,即,最大均匀抽取滤波器组：如果做M倍的抽取，且M=K，则称该滤波器组为最大均匀抽取滤波器组。,DFT调制滤波器组（复系数的M通道均匀滤波器组 ）：,余弦调制滤波器组（实系数的M通道均匀滤波器组）：,2、正交镜像滤波器组,3、第M带滤波器,将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相，也即 恒为一常数c，即,那么，其单位抽样响应必有,满足上式的滤波器称为“第M带滤波器（Mth filter）” 。,某一Mth滤波器的单位抽样响应，M=3,定理6.1 若H(z)是一个Mth滤波器，则,如果
6、一个Mth滤波器h(n)，那么将其依次移位 后，所得到的M个滤波器的频率响应之和等于1，效果为一全通滤波器。 Mth滤波器的这一特性被用于设计M通道滤波器组。,4、半带滤波器,Mth滤波器中，若令M=2，则所得的滤波器称为半带滤波器，此时,某一半带滤波器的h(n),若假定c=1/2，则,半带滤波器的特点： H(z)的通带与阻带的纹波必须相等，即 频率响应关于半带频率 是对称的，通带和阻带截止频率相对 是等距的； 除n=0外，h(n)的所有偶序号项全为0. 半带滤波器的长度总是奇数，即 可有效的减少计算量。,5、互补型滤波器,严格互补滤波器：,功率互补滤波器：,多抽样率系统的应用简介,语音和图像
7、的子带编码： 在对语音和图像编码时，一个常用的方法是利用滤波器组将信号分解成一个个的子带信号，并令这些子带信号占据不同的频带。由于这些子带信号所具有的能量是不会相同的，因此可按其能量的大小（也即重要性）给出不同的字长，从而达到高效编码的目的。,时分复用和频分复用：,4.3 两通道滤波器组,注：见胡广书现代信号处理教程图7.1.1,各信号间的关系：,对图中的分析滤波器组,对综合滤波器组,讨论： 若T(z)是全通系统，则整个滤波器组将不会发生幅度失真； 若T(z)具有线性相位，则该滤波器组将不会发生相位失真； 最简单的情况是令T(z)为纯延迟，即T(z)=cz-k，那么 从而实现了PR。 存在问题
8、：如何保证F(z)=0?如何保证T(z)为全通系统？如何保证T(z)具有线性相位？ 能否保证T(z)=cz-k？,无混叠条件：,G0(z)和G1(z)的选取准则：,标准正交镜像滤波器组,为了保证G0(z)和G1(z)是FIR的及实现准确重建，需要选择合适的H0(z)和H1(z)。,多相结构描述的两通道滤波器组中的基本关系：,QMFB中的幅度失真与相位失真：,存在问题： 在要求H0(z)和H1(z)都是FIR的情况下，若想既要保持PR，又要使H0(z)和H1(z)具有实际意义是不可能的。在H0(z)和H1(z)有实际意义的情况下，不可能完全消除幅度失真，因此也做不到PR。 解决方法： 在去除相位
9、失真的前提下，尽可能地减小幅度失真，从而做到近似PR；FIR QMF滤波器组 去除幅度失真，不考虑相位失真，近似实现PR。IIR QMF滤波器组； 放弃H1(z) =H0(-z)的简单形式，取更为合理的形式，从而实现PR。 CQMFB共轭正交镜像滤波器组,FIR标准正交镜像滤波器组,在去除相位失真的前提下，尽可能地减小幅度失真，从而做到近似PR。 FIR滤波器容易设计成线性相位的，例如，假定H0(z)是N点FIR低通滤波器，即,IIR标准正交镜像滤波器组,去除幅度失真，不考虑相位失真，近似实现PR。,共轭正交镜像滤波器组,放弃H1(z) =H0(-z)的简单形式，取更为合理的形式，从而实现PR
10、。,其中，N为偶数。,谱分解定理 如果功率谱Pxx(ej)是平稳随机序列x(n)的有理谱，那么一定存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),满足,式中，ak, bk都是实数，a0=b0=1, 且|k|1, |k|1。,我们总可以用单位圆内部的零极点组成一个系统H(z)（该系统自然是最小相位系统），又因为系统系数是实数， 圆外的零极点必定与圆内的零极点共轭对称。这样除了单位圆内部零极点外，用其它零极点组成的系统函数必定是H(z-1)。按照谱分解定理分解出H(z)一定是最小相位系统，它保证了模型的可逆性， 即逆系统存在。,分解方法： 我们知道功率谱是cos的函数，为了对功率谱进行谱分解， 下面
11、介绍一种分解方法： （1） 用代替cos， 得到有理函数V()； （2） 求出V()分子、分母的全部根i ; （3） 构造对每个i的方程:,该方程有两个根：Zi和1/ Zi ，其中Zi是单位圆内的根；,（4） 用单位圆内部极零点构成H(z)，零点是分子多项式的根Zi，极点是分母多项式的根Zj，,常数C由功率谱Pxx(ej)确定。,例1.6.2 已知x(n)的功率谱,求其模型的系统函数。,解：,（1） 令=cos，则,(2),(3),(4),设2w=1，对比给定的功率谱，得到：C=2/3 ，模型系统函数为,也可以假定2w=4/9，此时模型系统函数为,这样得到的模型系统函数的常数因子不同，但常数因
12、子仅影响其幅度大小，不影响问题实质。,由谱分解求H0(z) 和H1(z) ：,两通道滤波器组中的制约关系：,讨论： 对一个两通道滤波器组，希望其具有PR性能，四个滤波器具有好的通带和阻带，且都具有线性相位； 不论是QMFB还是CQMFB，四个滤波器实际上都来自于同一个滤波器H0(z)，要寻求既具有线性相位又满足PR性能的滤波器组，就不能简单地由H0(z)得到H1(z) 。 放弃 即放弃H0(z)和H1(z) 之间的正交性，而是满足双正交关系。,树状滤波器组,规则树状滤波器组,非均匀树状滤波器组,非均匀综合滤波器组,等效结构,信号的多分辨率分析,对频带的不均匀剖分产生了不同的时间、频率分辨率，对快变信号需要好的时间分辨率，对慢变信号需要好的频率分辨率。,j=1,j=2,j=3,信号的二进制分解,
