贵州省2019届高三第四次模拟考试数学（理）试题（解析版）

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1、1 贵州省遵义航天高级中学贵州省遵义航天高级中学 2019 届高三第四次模拟考试届高三第四次模拟考试 数学（理）试题数学（理）试题 一选择题：一选择题： 1.已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对集合进行化简，然后求出。 【详解】,， ,故本题选 A。 【点睛】本题考查了集合的交集运算。对于本题来说，易错点是集合 的元素特征， 它其实就是求函数的值域。 2.已知 为虚数单位，则= A. 1B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】 把化简成的形式， 利用进行求解。 【详解】，故本题选 C。 【点睛】本题考查了虚数单位 的正整数幂的性质。 3.已知

2、命题；命题 ，则.下列命题中为真命题的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 2 【分析】 先判断命题的真假，然后利用命题真假的规定，对四个选项逐一判断。 【详解】命题 ：命题 是真命题，那就是假命题； 命题 ：只有当时，才能有，即 ，所以命题 是假命题，那是真命题。命题规定：当都是真命题时，是真命题；当两个 命题中有一个命题是假命题时，是假命题。 选项 ：命题 是真命题， 是假命题，因此是假命题，故不选 ； 选项 ：命题 是真命题，是真命题，所以是真命题，故选 ； 选项 ：是假命题， 是假命题，所以是假命题，故不选 ； 选项 ：是假命题，是真命题，所以是假命题，故不选 。 【点睛】

3、本题考查了“且”命题的真假判断。 “且”命题的真假判断可以简记为见假则假，要真全真。 4.已知向量，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 选项 A：计算的值，若等于零说明选项 A 正确，否则是错误； 选项 B：依据进行判断； 选项 C:计算，再计算，若等于零说明选项 C 正确，否则是错误； 选项 D:计算，再计算，若等于零说明选项 D 正确，否则是错误。 【详解】选项 A：= ，所以选项 A 错误； 选项 B： 不平行于 ，所以选项 B 错误； 选项 C：，因为所以选项 C 错误； 选项 D：，因为，所以选项 D 正确，故本题选 D。 【点睛】本题考查了平

4、面向量的坐标运算。考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示。 解决此类问题的关键是准确记住公式。 5.某方便面生产线上每隔 15 分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为，从某中学的 40 名数学爱好者中抽取 5 人了解学习负担情况，该抽样方法为，那么和分别为 3 A. 系统抽样，分层抽样B. 系统抽样, 简单随机抽样 C. 分层抽样,系统抽样D. 分层抽样,简单随机抽样 【答案】B 【解析】 分析：利用系统抽样和简单随机抽样的定义直接求解. 详解：某方便面生产线上每隔 15 分钟抽取一包进行检验，则该检验方法为系统抽样； 从某中学的 40 名数学爱好者中抽取 5 人了解学习情况，则该

5、抽样方法为简单随机抽样. 故选：B. 点睛：(1)简单随机抽样需满足：被抽取的样本总体的个体数有限；逐个抽取；是不放回抽取；是等 可能抽取 (2)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大 6.【2018 年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C 【解析】 分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果. 详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上下底分别为 1，2，梯形的高为 2，因此几何体的体积为选 C. 点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体

6、几何体中求体积或表面积等. 7.在等差数列中，若，则等于 A. 5B. 6C. 7D. 9 【答案】C 4 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质，通过，可以求出，通过 ,可以求出，最后利用等差数列通项公式可以求出。 【详解】在等差数列中，因为，所以， 又，又因为， ，故本题选 C. 【点睛】本题考查了等差数列的性质。 8.一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这 四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】 通过假设法来进行判断。 【详解】假设甲说的

7、是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人 说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲； 假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话， 故乙说谎，第一名也不是乙； 假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话， 故丙在说谎，第一名也不是乙； 假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名， 同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。 本题选 C。 【点睛】本题考

8、查了推理能力。解决此类问题的基本方法就是假设法。 9.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 5 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合空间向量法求出的夹角的余弦值，这个余弦值的绝对 值就是异面直线与所成角的余弦值。 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系: 由，可知：, ,设的夹角为 ， 则有异面直线与所成角的余弦值为，故本题选 A。 【点睛】本题考查了利用空间向量异面直线所成角的问题。值得注意的是异面直线所成的角的范围是。 10.在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,，向量则 b 的值为：（） A. 3

9、B. C. 4D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 由，可以得到，用正弦定理把分别用 表示，然后代入中，求出 。 【详解】由题意可知： ，在 ABC 中， ， ， 6 由正弦定理可知：代入 中，得，故本题选 D。 【点睛】本题考查了向量数量积运算、正弦定理。 11.已知，是椭圆的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为的直线上， 为等腰三角形，则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率. 详解：因为为等腰三角形，所以 PF2=F1F2=2c, 由斜率为得， 由正弦定理得, 所以，选 D.

10、点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等. 12.已知定义在 上的函数满足：函数的图像关于直线对称，且当时， .若，则 a,b,c 的大小关系是（ ） A. abcB. bacC. cabD. acb 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的图像关于直线对称，可以知道函数关于 对称，这也就说明 7 关于 轴对称，即是偶函数。根据给出这三个数的特征，构造函数，就要判断出 的单调性，利用导数可以判断出的单调性，进而利用单调性就可以比较出三数的大

11、小关系。 【详解】由已知可知函数的图像关于直线对称，所以函数关于 对称，也就是 关于 轴对称，因此是偶函数，所以有， 构造函数，所以是上的奇函数。 当时，由已知可知，即， 所以函数当 时，是减函数，由奇函数性质可知： 是 上的减函数。 ，故本题选 B。 【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性，比较指数式、对数式的大小，同时也考查了函数的图象平移变换 的特点。重点考查了构造函数的方法。 二填空题：二填空题： 13.曲线在点处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 详解： 点睛：求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P

12、处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定 是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点. 14.二项式展开式中的系数为_(用数字作答) 【答案】60. 【解析】 二项式的展开式的通项公式为. 令，则. 展开式中的系数为 故答案为. 8 15.【2018 年浙江卷】从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成 _个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【解析】 分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列

13、数为 因此一共有个没有重复数字的四位数. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题 “除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法. 16.【2018 年全国卷文】已知点和抛物线，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点若 ，则_ 【答案】2 【解析】 分析：利用点差法进行计算即可。 详解：设 则 所以 所以 取 AB 中点,分别过点 A,B 作准线的垂线，垂足分别为 因为, 因为 M为 AB 中点， 所以 MM平行于 x 轴 因为 M(-1,1) 9 所以，

14、则即 故答案为 2. 点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到 ，取 AB 中点, 分别过点 A,B 作准线的垂线，垂足分别为，由抛物 线的性质得到，进而得到斜率。 三解答题：三解答题： 17.在数列中，且 （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前 n 项和。 【答案】(1)见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据数列通项公式的特征，我们对，两边同时除以，得到 ，利用等差数列的定义，就可以证明出数列是等差数列； （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法，求出数列的前项和。 【详解】 （1） 的两边同除以 ，得 ，又， 所以数列是首项为 4，

15、公差为 2 的等差数列。 (2)由（1）得，即, 故， 所以 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前 和。 已知，都是等差数列，那么数列的前 和就可以用裂项相消法来求解。 10 18.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 (1) 证明：PB平面 AEC (2) 设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 E-ACD 的体积 【答案】 【解析】 试题分析：（）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO，只要证明 EOPB，即可证明 PB平面 AEC；（）延长 AE 至 M 连结 DM，使得 AM

16、DM，说明CMD=60，是二面角的平面角，求出 CD，即可三棱锥 E-ACD 的 体积 试题解析：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB. 因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC， 所以 PB平面 AEC. (2)因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形， 所以 AB，AD，AP 两两垂直 如图，以 A 为坐标原点，AD，AP 的方向为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标 系 A-xyz，则 D，E，. 设 B(m，0，0)(m0)，则 C(m，0)，(m，0) 11 设 n1(x，y，z)为平面 ACE 的法向量， 则即 可取 n1. 又 n2(1，0，0)为平面 DAE 的法向量， 由题设易知|co