《MATLAB辅助现代工程数字信号处理 第二版 教学课件 ppt 作者 李益华 第1-5章 第2章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB辅助现代工程数字信号处理 第二版 教学课件 ppt 作者 李益华 第1-5章 第2章（130页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 离散时间信号与系统的频域分析,2.1 离散时间序列的傅里叶变换(DTFT) 2.2 离散周期信号的傅里叶级数(DFS) 2.3 离散傅里叶变换(DFT) 2.4 快速傅里叶变换(FFT) 2.5 Z变换 2.6 线性时不变离散系统的频域分析 2.7 小结,2.1 离散时间序列的傅里叶变换(DTFT) 如果信号在频域上是离散的，则信号在时域上就表现为周期性的时间函数。相反，如果信号在时域上是离散的，则其在频域上就表现为周期性的频率函数。因此，一个离散周期序列的频谱一定既是周期的又是离散的。本章先介绍离散时间傅里叶变换(DiscreteTime Fourier Transform，DTFT
2、)，再介绍离散周期序列及其傅里叶级数(DFS)。,2.1.1 DTFT的定义 序列x(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)定义为,(2.1),由X(ej(+2)=X(ej)，故X(ej)是的周期函数，周期为2。DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)绝对可和，即满足,(2.2),DTFT存在逆变换，称为离散时间傅里叶逆变换(IDTFT):,(2.3),式(2.1)和式(2.3)为序列x(n)的傅里叶变换对，即离散时间信号的傅里叶变换对。式(2.1)为正变换，式(2.3)为反变换或称为逆变换。 式(2.1）又可视为X(ej)的傅里叶级数展开式，式(2.3)确定的x(n)是傅里叶级数的系数。,2.
3、1.2 DTFT的性质 1. 线性性 定义信号x1(n)和x2(n)的DTFT分别是X1(ej)和X2(ej)，并令x(n)=ax1(n)+bx2(n)，其中，a和b为常数，则 X(ej)=aX1(ej)+bX2(ej) (2.4) 2. 时移与频移性 令y(n)=x(nn0)，则 Y(ej)=ejn0X(ej) (2.5),3. 对称性 将序列x(n)分成实部与虚部，即 x(n)=xR(n)+jxI(n) (2.6) 将式(2.6)进行DTFT，得到 X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) (2.7) X(ej)的实部XR(ej)是偶函数，虚部XI(ej)是奇函数，即 XR(ej)=XR(
4、ej) (2.8) XI(ej)=XI(ej) (2.9),4. 时域卷积定理 设y(n)=x(n)*h(n)，则 Y(ej)=X(ej)H(ej) (2.10) 该定理说明，两序列卷积的DTFT服从相乘的关系。 线性时不变系统输出y(n)的DTFT等于输入信号x(n)的DTFT乘以系统单位脉冲响应h(n)的DTFT。因此，求系统的输出信号可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照式(2.10)，求出输出的DTFT，再作逆DTFT求出输出信号。 5. 频域卷积定理 若y(n)=x(n)h(n)，则 (2.11),6. 时域相关定理 若y(n)是x(n)和h(n)的相关函数，即,则,7. 帕斯维
5、尔(Parseval)定理 帕斯维尔定理如下：,(2.13),帕斯维尔定理指出，信号时域的总能量等于频域的总能量。需说明的是，这里频域总能量是指|X(ej)|2在一个周期中的积分再乘以1/2。因此， |X(ej)|2是信号的能量谱。|X(ej)|2/2为信号的能量谱密度。,8. 维纳-辛钦(Wiener-Khinchin)定理 若x(n)是功率信号，则其自相关函数的傅里叶变换为,(2.14),式中，X2N(ej)为,(2.15),若式(2.14)的右边极限存在，则称该极限为功率信号x(n)的功率谱Px(ej)。式(2.14)称为确定性信号的维纳-辛钦定理，它说明功率信号x(n)的自相关函数和其
6、功率谱是一对傅里叶变换。 信号的总功率为,(2.16),无论x(n)是实信号还是复信号，其功率谱Px(ej)始终是的实函数，即功率谱失去了相位信息。相关函数和功率谱是描述随机信号的重要统计量。,2.2 离散周期信号的傅里叶级数(DFS) 2.2.1 DFS的定义 一个周期为N的周期序列，即 ，k为任意整数，N为周期。该序列可用离散傅里叶级数来表示，即可用周期为N的正弦序列来表示,(2.17),将上式两边乘以 ，并对一个周期求和，有,由于,(2.18),故可得到,(2.19),是一个由N个独立谐波分量组成的傅里叶级数，其周期为N。因此，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。 式
7、(2.17)和式(2.19)称为周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，可表示为,(2.20),(2.21),记 ，则DFS变换对可写为,(2.22),(2.23),DFS变换对公式表明，对于一个无穷长周期序列，只要知道一个周期的信号变化情况，就可以知道其他周期的情况。所以， 这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系。 为了便于MATLAB实现计算，又因 和 均是周期为N的周期函数，故可设 和 代表序列 和 的主值区间序列，则式(2.22)与式(2.23)可写为,(2.24),(2.25),式中，,(2.26),矩阵WN为正交酉矩阵，称作DF
8、S矩阵; W*N表示矩阵WN的复共轭。,【例 2.1】 设 ，以N=4为周期进行周期延拓，求周期序列的离散傅里叶级数。 MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 2-1 %实现离散傅里叶级数(DFS)的计算 %xn代表离散时间序列x(n)，N为离散时间序列x(n)的长度 %Xk为x(n)的傅里叶级数，且为其主值序列 xn= 0，1，2，3; N= 4; %设定序列和周期 n= 0: 1: N-1; k= 0: 1: N-1; %设定n和k Wn= exp(-j*2*pi/N); %设定Wn因子 nk= n*k;,Wnnk = Wn.nk; %计算W矩阵 Xk= xn*Wnnk;
9、%计算DFS的系数Xk disp(xn = ); disp(xn); disp(Xk = ); disp(Xk); %显示计算结果(系数) 程序运行结果为 xn = 0 1 2 3 Xn = 6.0000 2.0000 + 2.0000i 2.00000.0000i 2.0000 2.0000i,【例 2.2】 利用例2.1的计算结果，求离散傅里叶级数反变换。 MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 2-2 %实现离散傅里叶级数反变换(IDFS)的计算 %Xk为x(n)的傅里叶级数，且为其主值序列，N为Xk的长度 %xn代表离散时间序列x(n) Xk=6.00 2.00+2.0
10、0i 2.000.00i 2.002.00i; %设定DFS主值序列 N=4; n= 0: 1: N1; k= 0: 1: N1; %设定n和k Wn= exp(j*2*pi/N); %设定Wn因子 nk= n*k; Wnnk = Wn.(nk); %计算W矩阵 xn = Xk*Wnnk/N; %计算xn，注意矩阵相乘顺序 disp(xn = ); disp(xn); %显示计算结果(系数),程序运行结果为 xn = 0 1.00000.0000i 2.0000+0.0000i 3.0000+0.0000i 【例 2.3】 设 其中，N为序列周期，L/N是占空比。绘出L=10，N=80的幅度和
11、角度样本。,(m为整数),MATLAB程序如下: %MATLAB PROGRAM 2-3 clc; L=10; N=80; n1 =0: L-1; xn1 = 0.8*n1.*exp(-0.4*n1); xn2 = zeros(1，N-L); xn=xn1，xn2; n= 0: 1: N-1; k= 0: 1: N-1; Wn= exp(-j*2*pi/N); nk= n*k; Wnnk = Wn.nk; Xk = xn*Wnnk; magXk = fftshift(abs(Xk);,AngleXk = angle(Xk); figure(1); stem(k，magXk); xlabel(k
12、); ylabel(|Xk|); title(Amplitude of DFS); grid; figure(2); stem(k，AngleXk); xlabel(k); ylabel(Angle(Xk); title(Angle of DFS); grid 程序运行结果如图2.1所示。,图 2.1 离散傅里叶级数的幅值谱和相位谱,2.2.2 DFS的性质 DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系，下面列出几个常用的性质。 假设 和 都是周期为N的两个周期序列，其离散傅里叶级数分别为DFS 和DFS 。 1. 线性性 线性的定义如下：,(2.27),式中，a，b为任意常数。,2. 序列周期移
13、位 由于 及WNkn都是以N为周期的函数，故有,(2.28),3. 共轭对称性 对于复序列 及其共轭复序列 ，有,(2.29),复序列 的离散傅里叶级数的共轭偶对称分量为,(2.30),复序列 的离散傅里叶级数的共轭奇对称分量为,(2.31),4. 周期卷积 若 ，则,(2.32),周期卷积中的 和 都是周期为N的周期序列，因而乘积也是周期为N的周期序列，且周期卷积中的求和只在一个周期上进行。,2.3 离散傅里叶变换(DFT) 在计算机上实现信号频谱分析时，要求信号在时域和频域都是离散的，且都应是有限长的。离散傅里叶级数DFS在时域和频域都是离散的，但 和 都是以N为周期的无限长周期序列，因此
14、，可取其中的一个周期作为主值序列样本，形成离散傅里叶变换对，即DFT。DFS则是DFT进行周期延拓的结果。,2.3.1 DFT的定义 由离散傅里叶级数变换对(式(2.17)和式(2.19)可知，用离散周期序列 中一个周期的N个样本就能确定频谱序列 ; 同样，只用 一个周期中的N根谱线也可确定离散周期序列 。 在一个周期内的N个样本构成有限长序列x(n)， 在一个周期内的N个样本构成有限长序列X(k)。x(n)与X(k)之间的变换关系定义为有限长序列的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。 设x(n)是一个长度为N的有限长序列，则x(n)的离散傅里叶变换(DFT)为,(2.33),X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为,(2.34),式中， ，通常称式(2.33)和式(2.34)为离散傅里叶变换对。 若把有限长序列x(n)看成周期序列的 的主值序列，则相应的离散傅里叶变换X(k)为相应的周期序列的傅里叶级数 的主值序列，即,(2.35),(2.36),式中，RN(n)表示长度为N的矩形序列，见式(1.12)。,离散傅里叶变换是一个长度为N的序列，对应的离散频率在02之间，间隔相等，为2/N。离散傅里叶变换具有唯一性，其物理意义表示序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。 在MATL
