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1、第五讲 机械波本讲提纲1. 机械波的形成机制。2. 一维简谐波的函数描述。3. 多普勒效应。说明：本讲知识总量巨大，所以例题适当减少。知识模块第一部 机械波的产生知识点睛1. 实例引入：如图为一粒石子落入水中后发生的事情，石子在水面上某处引起振动，由于相邻水分子间有力的作用，以及水的重力，周围的水也连带振动起来了。这是人类最早意识到的“波”。（可以计算，浅水中波速v满足,其中h为水的深度）。如图为艺术体操上的长绸舞，人只要抖起一端，整根绳子在绳张力的带动下就都运动起来了。越往右的绳子启动的时间就越晚，所以在绳子上就形成了波形图。如图为人浪，在足球赛场上比较常见，当某人因为某种情绪决定开始上下振
2、动的时候，他旁边的人受到他的感染也开始上下振动，振动依次传染出去，大家的头顶形成的图形就叫“波形”，波形平移就叫波的传播，平移的速度就叫波速。【思考】有个成语叫“随波逐流”，那么“波”真的是我们看到的物质在“流”么，上面人浪问题中，形成波的人群的头，是否因为波的传播在平移？2. 机械波的形成通过上述实例，我们认识到：机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。机械波产生条件为：1）振源；2）能传递振动的介质。在宏观上，可将气体、液体或固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以相互作用力维系着。这些物质都可以看做是介质。如图：研究机械波常用的建模方法是把介质看成具备
3、相互作用力的质点，通过对局步列动力学方程研究波形的形成与传播。由于数学上难度较大，本讲讲义就不从力的角度给大家推导波形形成的规律了，直接引入振动函数进行推导。下面我们用一串质点演示一列波的形成：t=0时刻，一列质点处于平衡位置，但是x=0位置的质点已经开始向上运动.时刻，0号质点已经振动到了最高点，但是x=0位置的质点由于启动的晚了一点，所以正努力向上振，依次，越往后的质点启动越晚，向上的位移越少，而x=3位置的质点刚刚开始向上运动。时刻，0号质点已经完成了半次全振，1号质点正追随0号振向平衡位置，顺次x=6位置的质点刚启动，注意对比这张图片与上张，刚才位于0号位置的一个“波峰”经过四分之一周
4、期，已经“平移”到了3号位置，整个波形向右“运动”了，所以波的传播也是“波形”的平移。时刻，以上规律依然成立，具体不解释。时刻，振源完成一次全振，介质上形成一个完成的振动图像，我们把这个图形的空间周期叫波长，用字母表示。如果介质均一，传播速度v也一定，根据，再结合刚才的分析，当时，所以有：也可以记为： 其中f为频率，这个公式对所有的波都成立。以后的过程是上面过程的周期性重复，这就形成了稳定的波形。自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般
5、就只有纵波存在了。如下图，分别为横波与纵波演示。【思考】如地球内部发生剧烈振动，振动分别以横波与纵波传到地面，哪种波对震中地区的房屋产生破坏要大？（勤于思考的同学可以问问老师地震面波的形成以及破坏机理）【总结】对于机械波的两种理解方式：每一个质点独立的做简谐振动，但是振动形式沿着介质传播，每个质点启动后“学习”前一质点的振动， 每一个质点都可以当做后面质点的波源。波形按波速“平移”，每一个质点根据波形的“要求”处于合适的位置。判断波上质点振动方向：通常用的方法有波形平移法，反向爬坡法，三角形旋转法等，由于都是总结性规律，我们就以实例介绍了例题精讲：【例1】 如图是沿轴正方向传播的时刻的一列简谐
6、横波，波速为图中处的质点的振动图象应是下图中的哪一个【例2】 一列简谐横波在二轴上传播（振动位移沿 y 轴）己知x=12cm处的质元的振动图线如图1所示，x=18cm处的质元的振动图线如图2所示根据这两条振动图线，可获得关于这列简谐横波的确定的和可能的信息（如频率、波速、波长等）是哪些？第二部 机械波的产生知识点睛1波动方程如图所示，一列横波以速度沿轴正方向传播，设波源O点的振动方程为：在轴上任意点P的振动比O点滞后时间，即当O点相位为时，P点的相位为，由，P点振动方程为：这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向轴负方向传播时，（2）式只需改变的正负号。由波动方
7、程，可以（1）求某定点处的运动规律将代入，得其中为质点作简谐振动的初相位。（2）求两点与的相位差将代入（2）式，得两点、的相位差若为整数），则，则该两点同相，它们的位移和速度都相同。若为整数），则，则该两点相位相反。2.波的叠加和干涉当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加原理。当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。下图是水波的干涉实验图与解释图设有两列相干波自振源、发出，两振源的位相相同，空间任一点P至的距离为，至的距离为，则两列波
8、在P点产生的振动的相位差为当为整数），即当波程差时，P点的合振动加强；当，即当波程差时，P点的合振动减弱，可见P点振动的强弱由波程差决定，是P点位置的函数。总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。3.波的反射、折射当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成角，（叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成角（叫反射角）
9、。折射波的传播方向与法线成角（叫折射角），如图，则有（1） （2）式中为波在入射介质中的传播速度，为波在折射介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。设弦上有一向上脉冲波，如图，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸
10、的负值，将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。5.多普勒效应站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频
11、率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：（1）波源静止观察者运动情形如图所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，若观察者以速度趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为或，于是观察者感受到的频率为从而它与波源频率之比为（2）波源运动观察者静止情形若波源以速度运动，它发出的球面波不再同心。图所示两圆分别是时间相隔一个周期T的两个波面。它们中心之间的距离为T，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为观察者感受到的频率为因而它与波源频率之比为（3）波源和观察者都运动的情形此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情
12、况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为从而它与波源频率之比为声波总在一定的介质中传播，上面所说的静止和运动，都是相对于介质而言的，在这里声源速度和观察者速度在公式里的地位不对称：1）若声源和观察者相向运动时，上式中取“”、“”；2）若声源和观察者相背运动时，上式中取“”、“”；3）若声源和观察者均沿波传播的方向运动时，上式中取“”、“”；若声源和观察者均逆着波的传播方向运动时，上式中取“”、“”多普勒效应不限于声波（机械波），对于真空中的电磁波（光波），由于光速与参照系无关，多普勒效应的公式中只出现观察者对光源的相对速度波的传播方向、声源速度、观察者速度三者不共线的一般情况是
13、比较复杂的，这里只要考虑在连线方向的速度分量即可，这里不再赘述此外，在上述经典的多普勒效应中只有纵向效应，没有横向效应，而在相对论中，除纵向外，还有横向多普勒效应有兴趣的同学可以查阅相关资料例题精讲：【例3】 已知波动方程如下，求波长、周期和波速。【例4】 一平面简谐波沿O x 轴正方向传播，已知振幅，。在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿O y轴正方向运动，求波动方程。【例5】 试讨论频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。（波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。）【关于驻波】如图：所有的弦乐器上的振动都是驻波，弦
14、线上每个固定的点均作简 谐运动，但不同点的振 幅不同，由x值决定。振幅为零的点称为波节，振幅最大处称为波腹。波节两侧的振动相位相反。相邻两波节或波腹间的距离都是半个波长。由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以动能和位能的形式交换储存，亦传播不出去。当弦上产生驻波时，弦长L为半波长的正整数倍：【例6】 如图所示，声源和观察者都沿轴正方向运动，相对于地面的速率分别为和，空气中声音传播的速率为，设、，空气相对于地面没有流动 若声源相继发出两个声信号，时间间隔为，请根据发了同的这两个声信号从声源传播到观察者的过程，确定观察者接收到这两个信号的时间间隔； 请利用的结果，推导出此情形下观察者接收到的声
15、波频率与声源发出的声波频率间的关系式【例7】 火车路轨铺设在两个相距很远的山崖之间，两崖壁竖直、互相平行，路轨与崖壁垂直在两崖间的一段路轨上，火车头正以匀速度行进，并不断鸣笛笛声频率为，声音在大气中传播速度为问火车司机测得的回声频率为多大？ 课后练习：1：日常生活中，发现球掉入池塘里，能否通过往池塘丢入石块，借助石块激起的水波把球冲到岸边？ 阅读材料：惠更斯原理惠更斯原理用于解释球面波和平面波的传播，此外还可以解释波的反射、衍射的现象 在总结许多实验的基础上，荷兰科学家惠更斯提出：介质中波阵面上每一个点（有无数个）都可以看成一个新的波源，这些新的波源发出的子波。经过一定时间后，这些子波的包络面就构成下一时刻的波面1。 根据惠更斯原理，我们可以解释球面波的波
