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1、,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第九章,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 平面区域 D 的边界L的正向的概念：,当观察者沿该方向行走时，D内在他近处的那部分,总在他的左边.,简言之，,。,2. 格林公式,定理1. 设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,函数,则,在 D 上有连续偏导数 ,上述公式称为格林公式。,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,即,同理可证,、两式相加得:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2) 若区域 D 不能同时用上述不等式
2、组表示（如图）,则添加辅助线将 D 分割为有限个部分区域，,分区域都可同时用上述不等式组表示，,使每个部,则,。,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积：,注：,例如, 椭圆,所围面积,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设 L : 逆时针方向,求,解: 令,则,利用格林公式 , 得,原式,例3. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.
3、 计算 其中D 是以,O(0,0) , A(1,1) ,B(1,0) 为顶点的三角形顺时针方向边界 .,解:,x,y,A(1,1),B(1,0),.,O(0,0),.,.,原式,D,例3.计算,其中L 沿上半圆 由点（1，0）到（0，0）,解:,作图示辅助线 L,而,所以 原式,1,则,(1,0),(0,0),L,x,y,D,: y = 0,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.平面单连通区域的概念：,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都,属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。,简言之，,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有
4、一阶连续偏导数,(2) 对D 内任意闭曲线 L , 都有,(3) 曲线积分,(1) 在 D 内每一点都有,在D内与路径无关.,函数,则以下三个命题等价:,2.平面上曲线积分与路径无关的条件,证明 (1) (2),设L为D中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式 , 得,所围区域为,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,证明 (2) (3),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向曲线，则,(根据条件(1),例5. 验证,在全平面内与, 则,路径无关，并计算,解: 令,所以 与路径无关,故,例6.求,其中L沿半径为R 的上半圆,故原曲线积分在右半平面内与路径无关，从而,弧从点（2，1）到点（1，2）.,则在右半平面内，有,解: 令,作业,P119 1(1),(2),(3),(5) 2 (2) 3 (1) 4,
