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1、1,第十二章 动量定理,第一节 动量与冲量,一、质点的动量,定义：,单位：,二、质点系的动量,1. 定义,2. 实用算式,2,二、质点系的动量,2. 实用算式,其中，m 为质点系的全部质量；,为质点系的质心的速度,说明：在计算质点系的动量时，一般应采用投影法。,3,例1 图示三个物块用绳相连，质量分别为 m1 = 2m2 = 4m3 = m。不计绳的质量和变形，设某瞬时，三物块的速度大小同为 v ，试计算由三物块组成的质点系在此瞬时的动量.,建立图示直角坐标系，得,解：,由定义式，该质点系,的动量为,4,5,例2 图示椭圆规，已知 OC = AC = BC = l ；曲柄 CO 以等角速度 绕
2、定轴 O 转动；曲柄 CO 、连杆 AB 以及滑块 A、B 的质量均为 m ，其中曲柄 CO 、连杆 AB 可视为匀质杆，试求系统的动量。,解：,建立图示坐标系，,系统的质心坐标为,6,将上述两式分别对时间 t 求 导，得系统的质心速度 vC 在 x、y 轴上的投影为,7,上的投影为,8,9,三、力的冲量,常力的冲量：,变力的元冲量：,（2）实际计算时常用投影法,说明,（1）单位：,变力的冲量：,10,解：,设 t1 = 0 时，质点位于 A，经,例3 质量为 m 的质点在水平面内沿一半径为 r 的圆周作匀速运动，其速度大小为 v ，质点所受力的大小 F = mv2 / r ，方向始终指向圆心
3、。试求该力在质点经过半圆周的过程中的冲量。,建立图示直角坐标系，,过半圆周后运动至点 B ，对应时间,t2 = r / v,得力 F 在 x、y 轴上的投影分别为,11,在质点由 A 运动到 B 的过程中， 该力的冲量在 x、y 轴上的投影 分别为,12,所以，该力冲量的大小：,方向：,指向 y 轴的负向,13,第二节 动量定理,一、质点的动量定理,1. 微分形式,质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量，即,2. 积分形式,在一段时间内，质点动量的变化量等于作用于质点上的力在该段 段时间内的冲量，即,质点的动量定理的积分形式又称为质点的冲量定理,14,二、质点系的动量定理,1. 微分形式,
4、质点系动量的增量等于作用于质点上的外力元冲量的矢量和，即,2. 积分形式,在一段时间内，质点系动量的变化量等于作用于质点上的外力在 该段时间内冲量的矢量和，即,或者：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系上的外力 的矢量和，即,说明：动量定理为矢量形式，实际运用时一般都用其投影形式,冲量定理,15,三、质点系的动量守恒定律,若作用于质点系上外力的主矢恒为零，则该质点系的动量守恒，即,或者：若作用于质点系上外力在某坐标轴上投影的代数和为零，则 质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变，即,16,例4 质量为的 m1 平台 AB 与地面间的动摩擦因数为 f ，质量为m2 的小车 D 相对平台的运
5、动规律为 s = b t 2 / 2（b为常数）。若不计绞车质量，试求平台的加速度。,解：,选取系统为研究,受力分析,运动分析,对象,建立图示直角坐标轴，系统动量在 x、y 轴上的投影,17,根据质点系动量定理,其中，摩擦力 Fk = f FN,解得平台的加速度,18,解：,选取系统为研究对象,例5 两个重物的质量分别为 m1 和 m2 ，系在两根质量不计的细绳上；两根绳分别缠绕在半径为 r1 和 r2 上的鼓轮上；鼓轮总质量为 m3 ，其质心在转轴 O 上。若鼓轮以角加速度 绕轴 O 逆时针转动，试求轴承 O 的约束力。,受力分析,运动分析,系统动量在 x、y 轴上的投影,建立图示直角坐标轴
6、,19,根据质点系动量定理，有,20,得轴承 O 的约束力,21,解：,（1）先选取小车 A,例6 质量各为 600 kg、800 kg 的两小车 A、B 在水平轨道上分别以匀速 vA = 1 m/s、vB = 0.4 m/s 运动。一质量为 40 kg 的重物 C 从倾角为 30的斜面以速度 vC = 2 m/s 落入小车 A 内。假设小车 A 与小车 B 相碰后以同一速度一起运动，并不计摩擦，试求两车共同的速度。,与重物 C 为研究对象,系统水平方向不受外力 作用，故其沿水平方向 动量守恒,重物 C 与小车 A 相碰前,重物 C 与小车 A 相碰后,由 p1x = p0x，求得重物 C 与
7、小车 A 共同的速度,22,得两车的共同速度为,（2）再选取小车 A（含,重物 C）与小车 B 为研究 对象,设 A 车与 B 车相碰后的共 同速度为 v2 ，同理有,23,第三节 质心运动定理,质点系的质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系上所 有外力的矢量和，即,一、质心运动定理,其投影形式,其中，m 为整个质点系的质量；aC 为质点系的质心加速度,结论：,质点系的内力不会影响质心的运动，只有外力才能改变质,心的运动。,24,二、质心运动守恒定律,若作用于质点系上的外力的主矢为零，则其质心速度不变；如果 初始时质心静止，则质心位置不变。即,或者：若作用于质点系上的外力在某轴上投影的代
8、数和为零，则 其质心速度在该轴上的投影不变；如果初始时速度投影为零，则 质心沿该轴坐标不变。即,25,例7 如图，质量为 m1，长为 l 的匀质曲柄 AO 以等角速度 绕定轴 O 转动，并带动质量为 m2 的滑块 A 在滑杆 BDE 的竖直滑槽内滑动。滑杆 BDE 沿水平导轨滑动，质量为 m3 ，质心位于点 G 处。开始时，曲柄 AO 水平向右。不计各处摩擦，试求（1）系统质心的运动规律；（2）轴 O 处的最大水平约束力。,26,取整个系统为研究对象,解：,建立图示直角坐标系,系统质心 C 的坐标为,运动分析,27,整理得系统质心 C 的运动 方程为,28,将上述第一式对时间 t 求二 阶导数
9、，得质心加速度在 x 轴上的投影,29,受力分析,系统在水平方向上所受的外 力只有轴 O 的水平约束力,根据质心运动定理,所以，轴 O 处的最大水平约束力为,30,例8 电动机用螺栓固定在水平基础上，外壳与定子的重量为 P1，质心位于转轴的中心 O1，转子重量为 P2，转子的质心 O2 到 O1 的距离为 e ，若转子以角速度 匀速转动，试求螺栓和地基对电动机的约束力 。,取整个电动机为研究对象,建立坐标系,整个电动机质心 C 的坐标,解：,受力分析,运动分析,31,将上述两式对时间 t 求两阶导数，得 电动机质心 C 的加速度在 x、y 轴上 的投影,32,根据质心运动定理,33,解得螺栓和
10、地基对电动机的约束力,当电动机不转动时，螺栓和地 基只有向上的约束力 P1 P2 ， 称为静约束力；电动机转动时 的约束力称为动约束力；动约 束力与静约束力的差称为附加 动约束力。,34,例9 两根匀质杆 AD 和 BD 在 D 处用光滑铰链相连。已知两杆长均为 l ，质量各为 m1、m2，并且 m1 m2 。开始时，两杆竖直静止立于光滑的水平面上，然后在铅直平面内向两边分开倒下。试确定两杆倒地时点 D 的位置。,由于系统在水平方向不受外 力作用，且初始静止，故根 据质心运动守恒定律，系统 质心的横坐标保持不变。,取两杆为研究对象,解：,受力分析,35,建立图示固定直角坐标系 Oxy,初始时，
11、两杆直立，其质心坐标,两杆倒地时，设点 D 向右移 动 x，则系统质心坐标为,由 xC1 = xC2 ，求得两杆倒地时点 D 的位置,36,解：,选取系统为研究对象,受力分析,运动分析,例10 如图，一长为 l 、质量为 mB 的单摆，其支点铰接在一可沿光滑水平轨道作直线平移的滑块 A 上，滑块 A 的质量为 mA，摆杆 AB 质量不计。（1）计算任意时刻轨道对滑块 A 的约束力；,的运动方程（表达为 角的函数）以及单摆 B 的轨迹方程。,37,系统动量在 y 轴上的投影,根据质点系动量定理,解得轨道对滑块 A 的约束力为,38,因为系统水平方向不受外力作用， 且开始时静止，故由质心运动守恒 定律可知，系统质心在水平方向上 的位置守恒。,初始时刻，系统质心的水平坐标为,任意时刻，系统质心的水平坐标为,由 xc0 = xC，即得滑块 A 的运动方程,其中，,39,单摆 B 的运动方程为,从中消去 ，即得单摆 B 的轨迹 方程为,这是一个以点（C，0）为中心的椭圆，故称其为椭圆摆,
