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1、第8章 数字信号的最佳接收,通信系统原理,第8章 数字信号的最佳接收,8.1 引言 8.2 最小差错率准则 8.3 确知信号的最佳接收-理想接收机 8.4最大输出信噪比准则-匹配滤波器 8.5最小均方误差准则-相关接收机 8.6 随相信号的最佳接收机 8.7随机振幅和相位信号的最佳接收 8.8 最佳基带传输系统 8.9最佳接收理论的应用,8.1 引言,通过前面章节介绍可知，不同的解调方法获得不同的抗噪声性能。换句话说，接收系统接收方法不同，获得的抗噪声性也不同，如：FSK可以采用相干、非相干和过零检测等解调方法，其抗噪声性能也具有一定的差别。因此，数字通信系统采用不同的接收方式，其传输质量是有
2、差异的，度量的准则主要是错误判决的概率。 研究数字通信系统接收的理论基础主要是统计判决理论。在数字通信系统中，接收端收到的是发送信号和信道噪声之和。在信号(码元)发出后，接收端收到的信号电压由于噪声的影响具有随机性，即接收电压信号仍然是一个随机过程。,在现代通信中，太空通信、无线局域网和3G通信等方面，最佳接收都有广泛的应用。 在本章，接收机的结构是未知的，而是依据某种最佳接收准则，寻找或推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。这种分析方法类似寻找无码间串扰的信道特性时所采用的方法。,最佳接收准则,1最小差错率准则理想接收机 在数字通信系统中，传输质量的主要指标是错误概率，因此，将差错概
3、率最小作为“最佳”的准则是恰当的。换句话说，当接收端收到某个符号时，判决最有可能的发送符号是哪个，使正确接收的概率达到最大。因此，最小差错率与“最大后验概率”是等价的。,其中，P(s1)和P(s2)分别为发端符号s1和s2的发送概率，且,Pe1和Pe2中的积分区间需根据具体问题来确定。该准则就是使Pe达到最小，即达到最小差错率。这个准则推导出来理想接收机。,（8-1）,2最大输出信噪比准则-匹配滤波器 在抽样时刻，对每个码元作判决，信噪比越大越好。信噪比越大，误码率就越小。因此，假设存在某种接收方法，使抽样判决时刻的信噪比达到最大，则误码率就会达到最小，这就最大输出信噪比准则。即,这个准则推导
4、出来匹配滤波法接收。,（8-2）,和,若,则判为s2(t)。这个准则推导出来相关接收机。,3最小均方误差准则相关接收机 根据接收到的信号与信号的样品对照，计算出均方误差，与哪种符号的误差最小，就判决为哪种符号，这也是一种正确接收的思路。在二元数字通信系统中，均方误差为,（8-3）,则说明接收信号x(t)与s1(t)的均方误差更小，即更“像”s1(t)，因此，接收判决时应判为s1(t)。反之，若,8.2 最小差错率准则,最小差错率准则是从信号和噪声的统计特性方面研究最佳接收问题。为了研究符合最小差错率准则的接收机形式，首先分析接收信号服从的概率密度分布，然后，再推导出来接收机的形式。,图8-1
5、信号与噪声合成信号的判决,在数字通信系统中，符号S0，S1，S2，.Sn分别是发端的符号集，如果n=2，则为二元数字系统。在二元数字通信系统中，S0=0、S1=1或者 S0= -1、S1=1。判决器输入信号为y=x+s，如图8-1所示。,图8-2 信号判决期间,如果发送的是s1(t)，但是观察时刻得到的观察值yi却落在r2区间，这时将造成错误判决，因此，发s1(t)而误判为s2(t)的错误概率为,（8-6）,同理，如果发送的是s2(t)，但是观察时刻得到的观察值yi却落在r1区间，这时将造成另一种错误判决，其错误概率为,因此，系统总的误码率为,（8-8）,（8-7）,从式（8-8）可以看出，系
6、统总的误码率与先验概率P(s1)和P(s2)、似然函数及划分点,有关，条件概率密度,和,叫做似然函数。最小差错率准则就是要求总误码率Pe达到最小。,在先验概率和似然函数一定的条件下，系统总的误码率Pe是划分点的函数。不同的 将有不同的Pe，我们希望选择一个划分点,误码率Pe达到最小。使误码率Pe达到最小的划分点y0称为最佳划分点，y0可以通过求Pe的最小值得到，即求极小值 令,可求出最佳判门限y0，请见前面的相关章节的分析。因此，为了得到最小差错概率，进一步求解式(8-9)，可以得到以下规则进行判决：,(8-11),(8-10),以上判决规则称为似然比准则，即两个似然函数之比。这里，似然函数就
7、是条件概率密度函数。在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最小差错概率准则是等价的。,当s1(t)和s2(t)的发送概率相等时，即P(s1)=P(s2)时，则,判为s1,判为s2,在实际接收时，如果将信号与噪声的混合波形直接送入判决器，接收端的判决器采用一次判决显然不可靠。从概念上来说，只要能够看出接收到的信号与噪声的混合波形的“形态”更像哪个信号，就该能够判决为哪个信号。采用多次判决能增加可靠性，且要求多次抽样值必须是统计独立的。,（8-12）,设信号的持续时间为Ts，在(0,Ts)时间内观测噪声，第i次抽样其概率密度为,式中， p(ni)是噪声n在ti时刻的取值，即ni的一维概率密度函数。若
8、ni的均值为零，方差为,若各样值是统计独立的，则其k次观测得到k维联合概率密度函数是k个一维概率密度函数的乘积，则其联合概率密度函数为,（8-14）,（8-13）,根据帕塞瓦尔定理， 当k很大时有,（8-15）,（8-16）,（8-17）,信号通过信道叠加噪声后到达观察空间，在s为已知情况下，观察空间的观察波形为 y=s+n。由于在一个码元期间T内，信号集合中各状态s1，s2，sm 中之一被发送，因此在观察期间T内观察波形为,进一步,（8-18）,8.3确知信号的最佳接收机-理想接收机,在数字通信系统中，接收机输入信号根据其特性的不同可以分为两大类：一类是确知信号，另一类是随参信号。 所谓确知
9、信号是指信号的参数(如：幅度、频率、相位和到达时刻等)都是确知的，或者说信号的状态在过去、现在和未来都是已知的，如数字信号通过恒参信道到达接收机输入端的信号。对于随参信号，根据信号中随机参量的不同又可细分为随机相位信号、随机振幅信号和随机振幅随机相位信号(又称起伏信号)。 信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设计接收机。最佳接收机设计是在一组给定的假设条件下，利用信号检测理论给出满足某种最佳准则的接收机，其数学描述和组成原理框图不涉及接收机各级的具体电路。,8.3.1二进制确知信号最佳接收机结构,如图8-3所示为接收机基本原理框图。设到达接收机输入端的两个确知信号分别为s1(t)和s2(t
10、)，它们的持续时间为(0, T)，且有相等的能量，即,（8-19）,图8-3 接收机基本原理框图,根据上面的分析可知，在加性高斯白噪声条件下，最小差错概率准则与似然比准则是等价的。可以直接利用似然比准则对确知信号做出判决。在观察时间(0，T)内，接收机输入端的信号为s1(t)和s2(t)，信号与噪声的混合波形为,发送s1(t)时,发送s2(t)时,由前面分析可知，当出现s1(t)或s2(t)时，观察空间的似然函数分别为,根据式（8-10）判决规则，似然比为,式中，利用了式（8-19）的假设条件。进一步可得,判为s1(t) （8-23）,判为s2(t) （8-24）,式中，P(s1)和P(s2)
11、分别为发送s1(t)和s2(t)的先验概率。对式（8-23）和式（8-24）两边取对数，得,判为s1(t) （8-25）,判为s2(t) （8-26）,判为s1(t) （8-27）,判为s2(t) （8-28）,或者写成,式中,根据判决规则，把表达式(8-27)与式（8-28）用框图表示，可得到最佳接收机的模型，如图8-4所示。其中比较器是比较抽样时刻t=T时上下两个支路样值的大小。这种最佳接收机的结构充分考虑了K1和K2对判决的影响，特别是当发送s1(t)的概率为0时，即P(s1)=0，则lnP(s1)=-，即K1=-，这时式（8-28）总是成立，从而总是判决为s2(t)出现，这个结果正是我
12、们希望的，因为发端只发送了s2(t)。反过来，当P(s2)=0时，情况正好相反。把这种接收机叫做理想接收机。,图8-4 二进制确知信号最佳接收机结构-理想接收机,如果发送信号s1(t)和s2(t)的出现概率相等，即P(s1)=P(s2)，可得K1=K2。此时，图中的两个相加器可以省去，则先验等概率情况下的二进制确知信号最佳接收机简化结构为图8-5所示，这个结构属于相关接收机。在后面的章节会介绍，相关接收机的结构来自最小均方误差准则的推导。,图8-5 二进制确知信号最佳接收机简化结构 -相关接收机,其中，n(t)是高斯白噪声，其均值为零，方差为 若根据式（8-27）进行判决，即,8.3.2二进制
13、确知信号最佳接收机误码性能,误码率的一般公式为,（8-31）,设发送信号为s1(t)，接收机输入端合成信号为,（8-32）,判为s1(t)，是正确判决。,将式（8-32）代入式（8-27）中，可得,（8-33）,若,则属于错误判决。,再将式（8-29）和式（8-30）代入式（8-33）中，并利用式（8-19），即s1(t)和s2(t)能量相等的条件，可得：,设式（8-34）的左边的随机变量为，即,而式（8-34）的右边为常数，令为a，即,当误判为s2(t)而产生错误判决时，则发送s1(t)将其错误判决为s2(t)的条件简化为a事件，相应的错误概率为,（8-38）,根据假设条件，n(t)是高斯随
14、机过程，其均值为零，方差为 。根据随机过程理论，高斯型随机变量的线性组合仍然服从高斯分布，而积分运算是线性运算，因此是高斯型随机变量。一个高斯型随机变量被数学期望和方差唯一确定。所以，对于高斯随机变量，只要求出的数学期望和方差，就可以得到的概率密度函数。 的数学期望为,（8-39）,方差,（8-40）,利用白噪声的特点。可得,于是可以写出的概率密度函数为,（8-43）,至此，可以计算出发送s1(t)时，错误判决为s2(t)的概率为,利用相同的分析方法，可以得到发送s2(t)时，将其错误判决为s1(t)的概率，即,因此，系统总的误码率为,（8-45）,（8-44）,式中，a和b是判决门限，分别为
15、,最佳接收机的误码性能与先验概率P(s1)和P(s2)、噪声功率谱密度n0及s1(t)和s2(t)的能量之差有关，而与s1(t)和s2(t)本身的具体结构无关。 一般情况下先验概率是不容易确定的，通常选择先验等概率的假设设计最佳接收机。在发送s1(t)和s2(t)的先验概率相等时，误码率Pe还与s1(t)和s2(t) 的能量之差有关，如何设计s1(t)和s2(t)使误码率Pe达到最小，是需要解决的另一个问题。,可以看出，当发送信号先验概率相等时，a=b，此时误码率可表示为,式中,（8-48）,为了分析方便，我们定义s1(t)和s2(t)之间的 互相关系数为,误码率为,（8-52）,8.3.3
16、抗噪声性能影响因素分析,式（8-52）为发送信号先验概率相等时，二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小误码率。互相关系数与Pe之间有密切的关系，当发送信号s1(t)和s2(t)之间的互相关系数= -1时，s1(t)和s2(t)波形称为是最佳波形，也叫反相关信号。 而当互相关系数=0时，信号s1(t)和s2(t)之间叫做不相关，其误码率为,若互相关系数=1，叫全相关，则误码率为,全相关的两个信号s1(t)和s2(t)是完全一样的，此时，在接收端根本无法分辨出来是信号s1(t)还是信号s2(t)，必然造成50%的误码，这时，也不能实现任何信息的传输。,若发送信号s1(t)和s2(t)是不等能量信号，如E1=0，E2=Eb，=0，发送信号s1(t)和s2(t)的平均能量为E=Eb/2，在这种情况下，误码率表示式为, =0(ASK) =0 =-1 图8-6二进制最佳接收机误码率曲线,8.4 最大输出信噪比准则-匹配滤波器,滤波器输出信噪比
