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1、2.1 概述 2.2 解析法建立过程的数学模型 2.3 响应曲线辨识过程的数学模型 2.4 相关函数法辨识过程的数学模型,第2章 被控过程的数学模型,“1”,“1”,2.1 概述,如前所述，一个过程控制系统由被控过程和检测控制仪表两部分组成。因此，系统的控制品质取决于被控过程和检测控制仪表的特性。 由于过程控制仪表的特性是可以人为改变的，以适应不同被控过程的需要，因此，系统控制品质的优劣，主要取决于对生产工艺过程的了解和建立被控过程的数学模型。,2.1.1 建立被控过程数学模型的目的,建立被控过程数学模型的目的主要有下列几点： 1设计过程控制系统和整定调节器的参数 2指导生产工艺及其设备的设计
2、 3对被控过程进行仿真研究,表2-1被控过程数学模型的部分应用与要求,2.1.2 被控过程数学模型的类型,在过程控制系统中，被控过程是指正在运行中的各种工艺生产设备，被控过程的数学模型是指被控过程在各输入量（包括控制量和扰动量）作用下，其相应的输出量（被控量）变化函数关系的数学表达式。 过程的数学模型有两种描述形式： 一是用曲线或数据表格表示，称为非参量形式； 二是用数学方程表示，称为参量形式。参量形式表示的数学模型常用微分方程、传递函数、差分方程、脉冲响应函数、状态方程和观察方程等形式来描述。,2.1.2 被控过程数学模型的类型,被控过程的输入量与输出量之间的信号联系称为通道。控制量与被控量
3、之间的信号联系称为控制通道。外部扰动与被控量之间的信号联系称为扰动通道。 图2-1为过程控制系统框图。,图2-1 过程控制系统框图,2.1.2 被控过程数学模型的类型,建立过程数学模型的方法，通常采用： （1）解析法 解析法又称为机理演绎法。它根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建立过程的数学模型。 （2）实验辨识法 实验辨识法又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学模型。 （3）混合法 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据
4、来确定模型中各参数的大小。,2.1.2 被控过程数学模型的类型,由实验辨识法建立的过程数学模型的结构比较简单。以单输入-单输出过程的模型为例，常用如下两种形式： 1）线性时间连续型（可用微分方程或传递函数表示） 2）线性时间离散型（可用差分方程或脉冲传递函数表示）,2.2 解析法建立过程的数学模型,根据过程的内在机理，通过静态与动态物料（能量）平衡关系，用数学推导法建立过程的数学模型，称为解析法建模。在控制理论课程中已介绍过的用解析法建模的原理和方法，同样适用于过程控制系统的建模。 静态物料（能量）平衡是指在单位时间内进入被控过程的物料（能量）等于单位时间内从被控过程流出的物料（能量）。 动态
5、物料（能量）平衡是指单位时间内流入被控过程的物料（能量）与流出被控过程的物料（能量）之差等于被控过程内物料（能量）贮存量的变化量。,2.2.1 单容过程的建模,单容过程是指只有一个贮蓄容量的过程。单容过程又可分为自衡单容过程和无自衡单容过程。 对大多数被控过程，其阶跃响应的特点是被控量的变化是单调无振荡、有时延和惯性的，见图2-2。图2-2a为自衡过程的阶跃响应；图2-2b为无自衡过程的阶跃响应。 所谓自衡过程，是指被控过程在扰动作用下，平衡状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干预，依靠自身能够恢复平衡的过程。而无自衡过程，是指被控过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，
6、依靠其自身的能力不能重新恢复平衡的过程。,图2-2 被控过程的阶跃响应曲线 a）自衡过程 b）无自衡过程,对象机理数学模型的建立,问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？,左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。,当发生变化时(qiqo)，此时水箱的水位开始升高,根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的：,因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。,右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如果qiqo ，
7、水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。,绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。,一阶线性对象,问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。,解：,该对象的输入量为qi 被控变量为液位h,根据物料平衡方程：,单位时间内水槽体积的改变输入流量 输出流量,由于出口流量可以近似地表示为：,(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型，二者的结构形式完全相同。由于在控制领域中，特性的分析往往是针对变化量而言的，为了书写方便在以后的表达式中不写出变化量符号。,对上式作拉氏变换：,对象的传递函数：,该对象的阶跃响应：,如果qi
8、为幅值为A的阶跃输入，则,这是最典型的一阶对象的传递函数,一阶线性对象（总结）,典型的微分方程,典型的传递函数,典型的阶跃响应函数,典型的阶跃响应曲线,从微分方程的解析解来看,K放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，也称静态增益。K越大，表示输入量对输出量的影响越大。 T时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变化量的63.2所需要的时间，时间常数T是反映响应变化快慢或响应滞后的重要参数。用T表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后）。 T大，反应慢，难以控制；T小，反应块。,二阶线性对象,问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。,解：,该对象
9、的输入量为qi 被控变量为液位h2,（同样利用物料平衡方程）,槽1：,槽2：,联立方程求解：,传递函数：,另解：,根据一阶对象的传递函数，有,传递函数：,槽1：,且,槽2：,阶跃响应函数：,二阶线性对象（总结）,典型的微分方程,典型的传递函数,典型的阶跃响应函数,典型的阶跃响应曲线,二阶线性对象(相关和不相关）,若各特性参数不变，则二者的阶跃响应曲线示意图如下：,纯滞后一阶对象,在工业过程中常有一些输送物料的中间过程，如图所示，qi为操纵变量，但需要经过导流槽才送入水箱。如果把水箱入口的进料量记为qf，并设：导流槽长度l，流体平均速度v，流体流经导流槽所需的时间，所以当qi发生改变以后，经过时
10、间以后qf才有变化：,对于qf与h来说，根据前面的推导，可知：,传递函数为：,纯滞后对象（总结）,典型的微分方程,典型的传递函数,典型的阶跃响应函数,典型的阶跃响应曲线,纯滞后产生的主要原因： 物料输送等中间过程产生纯滞后 （大时间常数表现出来的等效滞后） 由于纯滞后的出现，控制作用必须经历一定的时间延迟（滞后）才能在被控变量上得到体现，致使当被控变量的反馈反映出控制作用时，可能会输入过多的控制量，导致系统严重超调甚至失稳。,Conclusion,一阶对象 一阶纯滞后对象 二阶对象 二阶纯滞后对象,既然多数对象为相关多容的，那这类对象的特性如何获取？,哪条曲线最有普遍适用性？,2.3 响应曲线
11、辨识过程的数学模型,响应曲线辨识法建立过程的数学模型，是一种常用的方法。利用这一方法建模，首先要测取过程的阶跃响应曲线或矩形脉冲响应曲线。,2.3.1 阶跃响应曲线的测定,测定阶跃响应曲线的方法很简单，只要使过程的输入量作一阶跃变化，利用快速记录仪或其他方法记录被控过程的输出量随时间变化的响应曲线，就是阶跃响应曲线。见图2-9a。,图2-9 被控过程的响应曲线 a）阶跃响应曲线 b）脉冲响应曲线,对象特性的实验建模,在被控对象上人为加入输入量，记录表征对象特性的输出量随时间的变化规律。,加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果； 输入量/输出量的起始时间是相同的，起始时间是
12、输入量的加入时间，输出量的响应曲线可能滞后于输入量的响应，其原因是纯滞后或容量滞后； 在测试过程中尽可能排除其它干扰的影响，以提高测量精度； 在相同条件下重复测试多次，以抽取其共性； 在测试和记录的过程中，应持续到输出量达到新的稳态值； 许多工业对象不是真正的线性对象，由于非线性关系，对象的放大倍数是可变的，所以作为测试对象的工作点应该选择正常的工作状态（一般要求运行在额定负荷、正常干扰等条件下）。,2.3.2 矩形脉冲响应曲线的测定,阶跃响应法是一种最常用的测定过程特性的方法。但是，若过程长时间处于较大幅值的阶跃信号作用下，被控量变化的幅度可能会超出生产工艺允许的范围，这是不允许的。这时可用
13、矩形脉冲信号作为过程的输入信号，测定过程的矩形脉冲响应曲线，见图2-9b。 由于利用阶跃响应曲线确定过程的数学模型比较简便，所以可将矩形脉冲响应曲线转换成阶跃响应曲线，然后按阶跃响应曲线确定过程的数学模型。 图2-10所示的矩形脉冲信号可以看作两个极性相反、幅值相同、时间相差 的阶跃信号叠加而成。,图2-10 由矩形脉冲响应曲线y（t）转换成阶跃响应曲线y1（t）,2.3.3 由阶跃响应曲线确定过程的数学模型,通过实验测定过程的阶跃响应曲线后，再根据阶跃响应曲线确定过程的数学模型。为此，应首先选定过程数学模型的结构，然后再确定具体参数。在工业生产中，大多数过程的数学模型常可用下列模型结构来描述
14、： 1.一阶无时延过程 2.二阶无时延过程 3.一阶有时延过程 4.二阶有时延过程,2.3.3.1 由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数,若过程的阶跃响应曲线如图2-11所示， 时，曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐上升到稳态值 ，则该曲线可用一阶无时延环节来近似。 由下式表示的一阶无时延过程，只需确定T0和K0两个参数，其确定方法常有直角坐标图解法和半对数坐标图解法。,图2-11 一阶无时延过程的阶跃响应曲线,在被控对象上加入的输入信号为u,T,C,A,D,B,1,2,一阶滞后环节包含三个参数：K、T、，如何确定这三个参数？ (a)在S型响应曲线上选择拐点A（二阶导数 + 或 +）； (b)曲线在
15、拐点A作切线，交y(0)于D点，交y()于C点； (c)OD为纯滞后时间 ， = 1 + 2，而1是系统真正纯滞后，是2容量滞后引起的等效滞后； (d)DC为时间常数T； (e)增益K=y/u。,2.3.3.2 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数,2.3.3.3 由阶跃响应曲线确定二阶过程的参数,图2-15 二阶过程的阶跃响应曲线,图2-16 二阶过程时间常数半对数坐标计算图,2.3.3.4 二阶时延过程参数的确定,图2-18 二阶时延过程的阶跃响应曲线,图2-19 二阶时延过程T1、T2和 的求法,2.3.3.5 无自衡过程参数的确定,图2-20无自衡过程的阶跃响应曲线,2.4 相关函数法
16、辨识过程的数学模型,图2-21 线性过程的输入输出关系,用相关函数辨识法建立过程的数学模型是在生产过程正常运行状态下进行的。不会影响生产的正常运行，其缺点是必须计算处理大量的信息数据。 由于计算机的广泛应用，数据处理已非难事，因此，这种方法已获得了广泛的应用。 利用相关函数法辨识过程的数学模型时，要给过程输入一个特定的，不会对正常生产运行造成影响的随机信号，然后计算其输出信号与输入信号的互相关函数，再由互相关函数求取被控过程的脉冲响应，从而获得过程的数学模型。 一个线性过程的数学 模型可用它的脉冲响应 函数来表示。,2.4 相关函数法辨识过程的数学模型,图2-22 M序列自相关函数 的波形,图2-23 M序列示例及其 的波形 a）M序列信号示例 b）M序列的自相关函数的波形,2.4 相关函数法辨识过程的数学模型,图2-26 与 示意图,图2
