《线性代数第3版 教学课件 ppt 作者 陈建华 22特殊、分块》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第3版 教学课件 ppt 作者 陈建华 22特殊、分块（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 几种特殊的矩阵及其运算,1.对角矩阵:方阵,即:,结论:A,B同阶对角阵 AB,kA,AB=BA为对角阵,2.数量矩阵：对角阵，对角线上元素相同，,形如,aij=0, ij (i, j=1,2,n),AT=A,= aEn,3. 单位矩阵：数量矩阵，对角线上元素为1,结论:,4.上(下)三角形矩阵：方阵, 形如,结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵之和、积仍为同结构三角形矩阵.,EmAmn=Amn=AmnEn,(aEm)Amn=aAmn=Amn(aEn),aij=0, ij (aij=0, ij ),5. 对称矩阵:aijaji,反对称矩阵:aij=-aji,A反对称,结论:A、B
2、同阶对称(反对称)矩阵, 则kA、A+B仍为对称(反对称)矩阵，但AB未必为对称(反对称)矩阵。例:,A、B均为n阶对称(反对称)矩阵，则,AB对称(反对称) ABBA(ABBA),证“反对称”：由已知，,必要性( ),充分性( ),A为对称矩阵,AT=A,AT=A,aii=0,AT=A， BT=B,(AB)TAB, AB(AB)T,ABBA, (AB)TBTAT,BTAT,(B)(A)BA,(B)(A),BAAB,结论:任一n阶方阵均可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和：,B对称;,C反对称.,对任意矩阵A, ATA与AAT均为对称矩阵.,00考研: ，n为正整数, 则,技巧：,(ATn
3、mAmn)T AT(AT)T,AT A,(AAT)n =A(ATA)(ATA)ATAAT,a2(a2n),BC,针对:行数,列数较高的矩阵(大型矩阵),采用分块法.,目的:大矩阵运算转化为若干特殊的小矩阵运算,使运算更简单.,例如:,1.概念:例,子块:用纵、横线分成的若干个小矩阵,分块矩阵：以子块为元素的矩阵,2.4 分块矩阵,一个矩阵可根据需要把它写成不同的分块矩阵.如:,2.分块矩阵的运算,1)加法:A、B同型，且以同样方式分块，则,AB对应子块相加减.,2)数乘：kA数k乘以各个子块.,3)乘法:A列数=B行数,A列的分法与B行的分法相同,则AB以子块为元素，矩阵相乘.,4)转置:,分
4、块矩阵行列互换,且各子块都转置.,求AB,例1. 设,解,AB,B11A12B21,设,例2,E,O,A1,A2,用分块矩阵乘法求A2,解,E,O,A1,A2,A2,A1A1A2,例3. 设,由分块矩阵乘法运算得：,另一方面,注AmsBsnA(B1,B2 ,Bn),(AB1, AB2, , ABn),(A列不分块, B行不分块),AEnA,(A1 A2 An),2019/5/22,第三章 矩阵,11,3. 特殊分块矩阵及有关结论,1)分块三角形矩阵,及,其中Aii (i=1,2,s)是ri阶方阵.,结论:,同结构的分块三角形矩阵的和、积仍是同结构的分块矩阵.,Ann中非零元都集中在主对角线附近, 有时可分为对角块矩阵.,2) 分块对角矩阵(准对角矩阵),其中Ai (i=1,2,s)是ri阶方阵.,(是1)的特例),特别地, D,则,注,(由拉普拉斯定理易得),
