《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.3相似矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.3相似矩阵（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3 相似矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力,引例 社会调查表明，某地劳动力从业转移情况,是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作，在,非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2000年,的1/5和4/5，记成向量,首页 上页 下页 返回 结束,全部劳动力的百分比分别为xn和yn，记成向量,设n年后从农工作和从事非农工作人员占,业情况的发展趋势,（1）求 与 的关系式，并写出矩阵形式；,（2）求 ，并预测经过多年之后该地劳动力从,解 （1）由题意得,首页 上页 下页 返回 结束,用矩阵表示为,首页 上页 下页 返回 结束,（2）由上式
2、知,若有可逆矩阵P，使 为对角阵，则,研究矩阵的相似对角化的问题的原因之一.,而n容易计算，,n个,于是就可方便地计算An，,这是我们,首页 上页 下页 返回 结束,使,定义 5.8 设 A , B 都是 n 阶矩阵，若有可逆阵P，,则称B是A的相似矩阵，,称为把A变成B的相似变换矩阵.,或称矩阵 A与B 相似.,对A进,进行运算 称为对A进行相似变换，,可逆矩阵 P,如,首页 上页 下页 返回 结束,定理 5.5 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多,证 因A与B相似，,项式相同，从而A与B的特征值也相同.,故,即有可逆阵P，使,首页 上页 下页 返回 结束,相似, 则 是A的n个特征值.
3、,推论 若 n 阶矩阵A与对角阵,证 即是的n个特征值，,由定理5.5 知 也就是A的n个特征值.,首页 上页 下页 返回 结束,其中,阵，则,首页 上页 下页 返回 结束,定理 5.6 n 阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角,化）的充分必要条件是A有n 个线性无关的特征向量.,下面我们要讨论的主要问题是：对n 阶矩阵A，,寻求相似变换矩阵P，使 为对角阵，这,就称为把矩阵A对角化.,记P = ( p1 , p2 , pn )，,首页 上页 下页 返回 结束,A ( p1 , p2 , , pn ) = ( p1, p2 , , pn ),pi是矩阵 A 的对应于特征值i的特征向量，,P 是可
4、逆矩阵,p1 , p2 , , pn线性无关.,首页 上页 下页 返回 结束,充分性. 设矩阵A有n个线性无关的特征向量,p1 , p2 , , pn，,P = ( p1 , p2 , , pn )，,p1 , p2 , , pn 线性无关，,记,AP =A ( p1 , p2 , , pn ),= ( p1, p2 , , pn ),P可逆,对应的特征值分别为 ，,首页 上页 下页 返回 结束,推论 如果 n 阶矩阵A的n个特征值互不相等，则,注 若A的特征方程有重根时，,A与对角阵相似,性无关的特征向量，,例如 在例5.6中3阶矩阵A的特征方程有重根，,不到3个线性无关的特征向量，,例5.
5、7中3阶矩阵A的特征方程也有重根，,找,而在,线性无关的特征向量，,从而A不一定能对角化.,就不一定有n个线,故A不能对角化；,但能找到3个,因此A能对角化.,令,首页 上页 下页 返回 结束,.,则,例 5.10 设,问x为何值时，矩阵A,能对角化？,解,而,首页 上页 下页 返回 结束,.,得,恰有1个，,对应单根 ，,故矩阵A可对角化,对应重根 ，,有2个线性无关的特征向量,方程 有,2个线性无关的解,可得,因此，当x = 1时，矩阵A能对角化.,可求得线性无关的特征向量,首页 上页 下页 返回 结束,解 为求An，,.,据定理5.6的推论，A能对角化.,得,例5.11 继续求解本节引例.,对应,由,需将A相似对角化.,由,首页 上页 下页 返回 结束,得一基础解系,.,对应,由,得一基础解系,并有,再求出,于是,首页 上页 下页 返回 结束,.,因此,可见最终该地,当 时，,从农和非农人员约各占全部劳动力的6% 和94% .,
