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1、1,第八章,第一节 离散控制系统概述 第二节 连续信号的采样与复现 第三节 Z变换及Z反变换 第四节 线性离散系统的数学模型 第五节 离散控制系统稳定性分析 第六节 离散控制系统的稳态误差分析 第七节 离散控制系统的动态性能分析,线性离散控制系统的分析与综合,2,线性离散控制系统的分析与综合,第八章,第八节 数字控制器的模拟化设计 第九节 数字控制器的离散化设计,3,第一节 离散控制系统概述,离散控制系统与连续控制系统相比较，其主要的不同是：从结构上看，离散控制系统中含有一个对连续信号进行采样的元器件(常称为采样开关)；从信号传递的角度看，离散控制系统中有一处或几处的信号是以脉冲或数码的形式传
2、递。,在现代军事、工农业生产的控制系统中，离散控制系统获得了广泛的应用。例如，导弹发射系统、定位系统、雷达方位跟踪系统、温度控制系统、程序控制系统、交直流电动机的速度控制系统等。从控制结构原理上看，离散控制系统包括两种类型，一是采样控制系统，,4,第一节 离散控制系统概述,图8-1是典型的采样控制系统结构原理图。图8-1中，系统输入信号r（t）与反馈信号b(t)比较后得到误差信号e(t)，经采样开关以一定的周期Ts重复开、闭作用后(采样)，连续信号或称模拟信号e(t)变换为一串脉冲序列的离散信号e*(t)，“*”号表示信号是离散的。脉冲控制器对信号e*(t)进行某种运算处理，再经保持器后(通常
3、为低通滤波器)变换为连续的控制信号u(t)去控制被控对象。本系统中，r(t)、b(t)、e(t)、e(t)、u(t)、y(t)是连续信号：e*(t)、u*(t)是离散信号。,5,第一节 离散控制系统概述,图8-2是典型的计算机控制系统原理结构图。图中，计算机起着控制器(或称校正装置)的作用。误差信号e (t)经过AD转换器进行采样、编码后转换成数字(码)信号e* (t)，经计算机进行某种运算处理后输出数字(码)控制信号u* (t)，再经DA转换器后恢复成连续控制信号u(t)去控制被控对象。本系统中，r(t)、b(t)、e(t)、u(t) 、 y (t)是连续信号；e* (t)、u * (t)是
4、离散的数码信号。,6,第一节 离散控制系统概述,在经典控制理论中，对离散控制系统的分析、综合方法与对连续控制系统的分析、综合方法极为相似，而且大多数方法是从连续控制系统的有关理论引申或移植过来的。不同的是，连续控制系统的分析、综合方法是建立在拉氏变换的数学基础上，而离散控制系统的分析、综合方法是建立在Z变换的数学基础上。,7,第二节 连续信号的采样与复现,一、连续信号的采样及数学描述,控制系统中，把在时间上和幅值上连续变化的物理量，称为连续信号或称为模拟信号。把一连续信号转换成一离散信号(一串脉冲序列或数码)的过程，称为采样过程，或简称为采样。实现这一变换的部件，称为采样开关或模数转换器。图8
5、-3表示了信号采样的示意图。,8,第二节 连续信号的采样与复现,图8-3中，采样开关前的输入信号f(t)是一连续信号。设采样开关每隔时间TS,闭合一次，每次闭合的时间为，称TS为采样周期，称为采样的持续时间。则经采样开关后的输出信号，即称为采样信号的f*(t)便是一串脉冲序列的离散信号。由于在实际的工程系统中，不但远小于TS，而且也比系统中的其他时间常数要小得多，因此，在系统分析时，往往认为近似为零。这样，采样信号f*(t)便可近似认为是一串理想脉冲，而在各采样时刻点0 TS 、1 TS 、2 TS 、3 TS 、上f(t)的值，即f(0 TS)、f(1 TS)、f(2 TS )、f (3TS
6、 )、，被看成是f*(t)的各个脉冲的强度。,9,第二节 连续信号的采样与复现,为了对上面的采样过程和采样信号进行数学上的处理和描述，往往把这一采样过程看成是一个信号的幅值调制过程，如图8-4所示。 采样开关当作是一个幅值调制器，其周期性的开闭相当于产生出一串以Ts为周期的单位理想脉冲序列,，数学上表示为,10,第二节 连续信号的采样与复现,这样，调制过程便可视为模拟输入信号f(t)对单位理想脉冲序列的强度调制。,数学上，这种调制过程表示为两个信号函数相乘。因此，图8-4的调制过程及输出的采样信号f*（t）便可描述为,11,第二节 连续信号的采样与复现,在实际的控制工程中，t0时信号为零，式（
7、8-2）变为,式（8-3）便是采样过程及采样信号的数学描述式。 式（8-3）表明，采样信号f*（t）为一串的脉冲序 列， 每个脉冲在数学上是两个函数的乘积，其中脉冲的大小由输 入信号f(t)在各采样时刻的函数值f(kTs)决定，而脉冲存在的时刻由（t- kTs）来表示，K=0，1，2。,12,第二节 连续信号的采样与复现,三、 信号的复现及装置,信号的复现是，使离散号f*（t）重现成采样前的连续信号f（t）。为了讨论复现问题，先从连续信号f（t）和离散信号f*（t）的频谱特性看其两者之间的关系。著名学者香浓（shan-non）指出，对于连续信号f(t)，其频谱通常是一个孤立的连续频谱；但是如果
8、以均匀周期 T 对该连续函数f(t)进行理想采样，则采样信号f*(t)的频谱将与采样频率有关，而且是以采样频率为周期无限多个频谱之和，如图8-5所示。,13,第二节 连续信号的采样与复现,14,第二节 连续信号的采样与复现,从图8-5可以看出，若采样频率 s 2max, f*(t)的各个频相互重叠；若采样频率s = 2max， f*(t)的各个频谱恰好相交接、并不重叠；若采样频s 2max， f*(t)的各个频谱相互分离。,所以，从频谱特征看，只要采样频率s大于或等于连续信号f*(t)频谱中最高频率max的两倍，就有可能从采样信号f*(t)的频谱中得到原连续信号f(t)的频谱，即要求,这就是著
9、名的香浓定理。,15,第二节 连续信号的采样与复现,从图8-5中的频谱图还可以看出，在满足了香浓（Shannon）定理的条件下，要想不失真地复现原信号f(t)，换句话说，要想从f*(t)的频谱中得到原信号f(t)的频谱，还必须除掉f*(t)频谱中所有的高频频谱分量才成。要做到这点就意味着要在被控对象前设置一个如图8-6所示的具有锐截止特性的理想低通滤波器，它在采样频率波器是做不出来的。通常只能采用近似理想低通性能的滤波器来代替。工程上最简单最常用的低通滤波器就是零阶保持器。,16,第二节 连续信号的采样与复现,零阶保持器 零阶保持器使采样信号f*(t)在每一个采样瞬时的采样值f(kTs)，k
10、= 0, 1，2，一直保持到下一个采样瞬时，这样，离散的信号f*(t)，变成了一阶梯信号fh(t)，如图8-7所示。因为fh(t)在每个采样区间内的值均为常数，其导数为零，故称它为零阶保持器。在离散控制系统中，零阶保持器视为系统中的一元部件，下面讨论其数学模型。,17,第二节 连续信号的采样与复现,设零阶保持器的输入端加入一个单位理想脉冲(t)，那么，其输出应是幅值为1、持续时间为Ts的脉冲响应函数g（t），如图8-8a所示。为了求出零阶保持器的传递函数，可把g(t)分解为 两个单位阶跃函数之和，如图8-8b所示，即 g（t）=1（t）-1（t-Ts）,18,第二节 连续信号的采样与复现,由第
11、二章知，单位脉动冲响函数g（t）的拉氏变换式即为环节的传递函数。因此，对上式两边取拉氏变换就可求出零阶保持器的传递函数为,令S = j 代入式（8-6），得零阶保持器的频率特性为,19,第二节 连续信号的采样与复现,的幅频特性和相频特性如图8-9所示。从幅频特看，幅值随频率的增加而衰减，因此，零阶保持器是一低通滤波器，除了允许主频谱分量通过以外，还允许通过部分的高频频谱分量。从相频特性看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，使系统的稳定性变差。,20,第二节 连续信号的采样与复现,除了零阶保持器外，还有1阶、2阶等高阶保持器。因为它们结构较复杂，而且会产生较大的负相移，所以实际中较少
12、使用。在计算机控制系统中，数模转换器（D/A）就是一种低通滤波器。,通过上面的分析可得出结论，要想使采样信号无失真地恢复回原来的连续信号，必须具备两个条件：一是采样频率s2max, max为原连续信号的上限频率；二是在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。零阶保持器就是一个低通滤波器。,21,第三节 Z变换及Z反变换,为了对离散控制系统的暂态过程进行求解、分析，需要用到Z变换及Z反变换的数学知识。本节简要介绍Z变换及Z反变换的有关内容。,一、 Z变换,1. Z变换定义 上一节指出，一个连续信号f（t）经采样后，其采样信号在数学上可表示为,对上式两边取拉氏变换，得,22,第三节 Z变换及Z反变
13、换,对上式两边取拉氏变换，得,可看出，F（ s）是以复变量S表示的函数。由于上式中含有指数项，运算不方便，因此引入一新的变量,式中,Z定义在Z平面上的 一个复变量，称为Z变换算子； Ts采样周期； S拉氏变换算子。,23,第三节 Z变换及Z反变换,将式（8-10）代入式（8-9）中，得到以Z为变量的函数F（z），即,式（8-11）收敛时，被定义为采样函数f*(t)的Z变换。用符号表示为,24,第三节 Z变换及Z反变换,注意： （1）式（8-9）、式（8-11）、（8-12）均是f*(t)的拉氏变换式，但式（8-9）是在S域定义的，而式（8-11）、 式（8-12）是在Z域定义的。 （2）F(Z
14、)只是采样函数 f*(t) 的 Z 变换，而不是连续函数f(t)的变换。但习惯又常称 F(Z)为 f（t）的 Z 变换，要注意实际上指的仍是 f*(t) 变换。 （3）F(Z)只表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不能反映在采样时刻之间的特性。因此，相同的F(Z)只对应于相同的f*(t) ，但不一定对应于相同的f(t)。,25,第三节 Z变换及Z反变换,Z变换的方法 Z变换有多种方法，下面介绍两种最常用的方法。 （1）级数求和法 级数求和法是在已知各采样瞬时值时直接用式（8-12）展开 。,例8-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。 解 由于单位阶跃函数1(t)在各个采样瞬时的值均为
15、1，即 f（kTs）=1(kTs)=1, K=0，1，2,26,第三节 Z变换及Z反变换,由式（8-12）得,上式是一开放式，不方便计算和应用。为了得到一闭合式，上式两边乘 z-1，有,27,第三节 Z变换及Z反变换,上面两式相减，得,所以有,28,第三节 Z变换及Z反变换,例8-2 求指数函数e-at，a0 的 Z 变换式。 解 求指数函数e-at在各采样时刻的值，令,有,由式（8-12）并展开，得开放表达式为,29,第三节 Z变换及Z反变换,为了求闭合式，上式两边同乘,得,上面两式相减，得,所以,30,第三节 Z变换及Z反变换,（1）级数求和法,部分分式法是当已知连续函数的拉氏变换F(s)
16、时，先对F(s)进行部分分式展开，将其变成分式和的形式；然后查常用函数的Z变换表（见附录，）即,31,第三节 Z变换及Z反变换,对分式 1/（s+a）查简单函数的Z变换表，有,32,第三节 Z变换及Z反变换,例8-3 已知原函 f(t) 的拉氏变换为,求其 Z 变换。,解 把 F(s) 用部分分式展开为,查Z变换表得,33,第三节 Z变换及Z反变换,3. Z变换的性质 和连续函数的拉氏变换一样，Z 变换也有一些类似的性质。简述如下： （1）线性性质 设,、,、,34,第三节 Z变换及Z反变换,（2）延迟定理,证明略。有兴趣读者，可参阅相关文献。延迟定理说明，函数f(t)在时域中延误k个采样周期，相当于函数F(z)乘以z-k。因此，算子z-k的意义可表示时域中的时滞环节，它把脉冲延迟了k个采样周期。利用Z变换求解差分方程时，经常利用延迟定理。,35,第三节 Z变换及Z反变换,例8-
