《自动控制原理第2版 孟华第7章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理第2版 孟华第7章（143页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、自动控制原理（第2版） 孟华 主编,机械工业出版社,第7章 离散控制系统,2019/5/22,2,第7章 离散控制系统,7.1 概述 7.2 采样过程与采样定理 7.3 Z变换理论 7.4 离散控制系统的数学描述 7.5 离散控制系统的稳定性分析及瞬态响应 7.6 离散控制系统的稳态误差 7.7 离散系统的数字控制器设计 7.8 MATLAB在离散控制系统中的应用,2019/5/22,3,7.1 概述,离散控制系统（又称为采样控制系统），与连续控制系统的根本区别在于：离散系统有一处或几处信号是时间的离散函数。,(7-1),图7.1是离散系统的方框图。图中两个采样开关的动作 一般是同步的，因此可
2、等效地简化为图7.2的形式。,图7.1 离散系统方框图,图7.2 离散系统简化方框图,误差,2019/5/22,4,图7.3 离散型时间函数,采样开关经一定时间T后闭合，每次闭合时间为(T)，如图所示。,自动控制原理,5,离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图中用于控制的计算机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。,由于A/D和D/A转换器的转换精度一般都比较高，转换所造成的误差通常可忽略不计，因此A/D和D/A转换器可以用采样开关来表示。,简化,2019/5/22,6,将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。
3、,等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期动作 随机采样:采样开关动作是随机的,采样频率：,采样角频率：,采样可分为：,7.2 采样过程与采样定理,7.2.1 采样过程及其数学描述,2019/5/22,7,采样过程如图7.6所示。,(a),(b),(c),图7.6 采样过程,2019/5/22,8,式(7-4)表明，离散信号是由一系列脉冲组成，在采样时刻t=kT，脉冲的面积就等于该时刻连续信号x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可写作,(7-5),因此，采样过程从物理意义上可以理解为脉冲调制过程。,采样开关对连续信号x(t)进行采
4、样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为,(7-4),2019/5/22,9,7.2.2 采样定理,在设计离散控制系统中，采样周期的选择是一 个关键问题。假设连续信号x(t)的频率特性为,(7-6),该信号的频谱|X(j)|是一个单一的连续频谱，其 最高频率为max，如图所示。 根据式(7-5)，离散信号x*(t)的拉普拉斯变换为,(7-7),2019/5/22,10,式中s=2/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=j，求得x*(t)的傅氏变换为,(7-8),式中X(j)为连续信号x(t)的傅氏变换，|X(j)| 即为x(t)的频谱，即
5、,(7-9),2019/5/22,11,当s2max时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的离散频谱，其中与k=0对应的是采样前原连续信号的频谱，幅值为原来的1/T，如图7.7(b)所示。,若s2max，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立频谱构成，而是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不相似的连续频谱，如图7.7(c)所示。,2019/5/22,12,定理7.1(Shannon定理)：如果对一个具有有限频谱 (-maxmax)的连续信号采样，当采样角频率,时，则由采样得到的离散信号能够无失真地恢复到原来的连续信号。,(7-10),几点说明： (1) 采样定理给出的是由采样脉冲序列无失真地再现
6、原连续信号所必需的最大采样周期或最低采样频率。,(2) 将离散信号x*(t)通过一个理想低通滤波器，就可以把smax的高频分量全部滤除掉，仅留下X(j)/T部分，再经过放大器对1/T进行补偿，便可无失真地将原连续信号x(t)完整地提取出来。 (3) 采样周期T是离散控制系统中的一个关键参数。如果采样周期选得越小，即采样频率越高，对被控系统的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。,2019/5/22,13,7.2.3 信号的恢复,信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持器在离散系统中的位置应处在采样开关之后(图7.8)。,图7.8 保持器方块图,具有常
7、值、线性、二次函数(如抛物线)型外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶保持器。 工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器。它把前一个采样时刻kT的采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。当下一个采样时刻(k+1)T到来时应换成新的采样值(k+1)T继续外推。也就是说，kT时刻的采样值只能保存一个采样周期T，到下一个采样时刻到来时应立即停止作用，下降为零。,2019/5/22,14,零阶保持器的时域特性gh(t)如图7.9(a)所示。 它是高度为1宽度为T的方波。高度等于1，说明采 样值经过保持器既不放大、也不衰减；宽度等于T，说明零阶保持器对
8、采样值保存一个采样周期。图7.9(a)所示的gh(t)可以分解为两个阶跃函数之和， 如图7.9(b)所示。,图7.9 零阶保持器的时域特性,(b),(a),2019/5/22,15,(7-11),则零阶保持器的传递函数为,(7-12),令s=j，带入式(7-12)中得零阶保持器频率特性为,(7-13),或写成,(7-14),因此零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)是一个幅值为1、持续时间为T的矩形脉冲，可表示为两个阶跃函数之和，即,2019/5/22,16,式(7-14)中，|Gh(j)|为零阶保持器的幅频特性或频谱；Gh(j)为零阶保持器的相频特性。它们与频率的关系分别为,(7-15),(7-
9、16),2019/5/22,17,从幅频特性来看，零阶保持器是具有高频衰减 特性的低通滤波器，且频率越高衰减越剧烈，0 时的幅值为T；从相频特性来看，零阶保持器具有负 的相角，会对闭环系统的稳定性产生不利的影响。,图7.10 零阶保持器的幅频与相频特性,2019/5/22,18,零阶保持器有无穷多个截止频率。所以零阶保持器并不是只有一个截止频率的理想低通滤波器，因此由零阶保持器恢复的连续信号xh(t)与原连续信号x(t)是有差异的。此外零阶保持器引入了附加的滞后相移，xh(t) 比x(t)在时间上平均滞后半个采样周期（如图7.11中虚线所示），这使系统的相对稳定性有所降低。,图7.11 零阶保
10、持器的输出信号,2019/5/22,19,连续时间函数x(t)经采样周期为T的采样开关后，得到离散信号x*(t)(式7-4)，即,对上式表示的离散信号进行拉氏变换，可得,(7-17),式中X*(s)是离散时间函数x*(t)的拉氏变换。,1、Z变换定义,7.3 Z变换理论,7.3.1 Z变换定义和性质,2019/5/22,20,因复变量s包含在指数函数e-kTs中不便计算，故引进一个新变量z，即,(7-18),式中，T为采样周期。将式(7-18)代入式(7-17)， 便得到以z为变量的函数X(z)，即,(7-19),式中X(z)称为离散时间函数X*(s)的Z变换，记为,在Z变换中，考虑的是连续时
11、间信号经采样后的离散时间信号，或者说考虑的是连续时间函数在采样时刻的采样值，而不考虑采样时刻之间的值。,2019/5/22,21,Z变换有一些基本定理，可以使Z变换的应用变 得简单和方便，在许多方面与拉普拉斯变换的基本 定理有相似之处。,(1) 线性定理 设函数x(t)、x1(t)、x2(t)的Z变换分别为X(z)、X1(z)及X2(z)，a为常数，则有,(7-21),(7-22),此定理可由Z变换定义直接证得。,2、Z变换性质,2019/5/22,22,(2) 时移定理 如果函数x(t)的z变换为X(z)，则,式(7-23)亦称延迟定理，式(7-24)亦称超前定理。,(7-23),(7-24
12、),证明 首先证明式(7-23)。令ik=r，由,则求得,2019/5/22,23,因为t0时x(t)=0，则x(kT)=x(2T)= x(T)=0，则式(7-25)可写成式7-23，命题得证。,延迟定理说明，原函数在时域中延迟k个采样周期，相当于像函数乘以zk 。,(7-25),2019/5/22,24,再证明式(7-24)，由 ，令 i+k=r，则求得,若满足x(0)=x(T)=x(k1)T=0，上式可简写为,(7-26),算子zk的意义，相当于把时间信号超前k个采样周期。,2019/5/22,25,(3) 初值定理 如果函数x(t)的Z变换为X(z)，并且t0时有 x(t)=0，则,(7
13、-27),证明 由Z变换定义可得,在上式中，当z时，除第一项外，其余各项均为 零，即,2019/5/22,26,(4) 终值定理 如果函数x(t)的Z变换X(z)的极点均位于z平面的单位圆内，且不含有z =1的二重以上的极点，则x(t)的终值为,(7-28),证明 由,得,当z1时，两边取极限得,2019/5/22,27,7.3.2 Z变换方法,(1)级数求和法 式(7-19)是离散函数x*(t)的Z变换的级数展开形式，将其改写成,(7-29),该式是Z变换的一种级数表达式。显然，只要知道 连续时间函数x(t)在各采样时刻kT (k=0,1,2,) 上的采样值x(kT)，便可求出Z变换的级数展
14、开式。 这种级数展开式具有无穷多项，是开放的，如果不 能写成闭式，是很难应用的。一些常用函数的Z变换 的技术展开式可以写成闭式的形式。,2019/5/22,28,例7-1,试求单位阶跃函数1(t)的Z变换。,解 单位阶跃函数1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1，即,将上式代入式(7-21)，得,或,(7-30),上式中，若|z|1，可写成如下的封闭形式，即,(7-31),2019/5/22,29,例7-2,试求衰减的指数函数e-at(a0)的Z变换。,解 将e-at在各采样时刻的采样值代入式(7-29)中，得,(7-32),若|eatz|1,则上式可写成闭式的形式，即,(7-33),例7-3
15、,试求函数ak的Z变换。,解 将ak在各采样时刻的采样值代入式(7-21)中得,(7-34),将该级数写成闭合形式，得ak的Z变换，即,(7-35),2019/5/22,30,例7-4,试求函数x(t)=sint的Z变换。,解 因为,所以,(7-36),通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于： 需要将无穷级数写成闭合形式。在某些情况下需要 很高的技巧。Z变换的无穷级数形式(7-29)的优点 在于具有鲜明的物理含义。,2019/5/22,31,(2) 部分分式法 设连续时间函数x(t)的拉普拉斯变换X(s)为有理函数，并具有如下形式,将X(s)展开成部分分式和的形式，即,由拉氏变换知，与 项
16、相对应的时间函数为 ，根据式(7-33)便可求得其Z变换为 ，因此，函数x(t)的Z变换可由X(s)求得,(7-38),(7-37),(7-39),2019/5/22,32,例7-5,利用部分分式法求取正弦函数sint的Z变换。,解 已知 ，将 分解成部分分式 和的形式，即,由于 拉氏变换的原函数为 ；再根据式 (7-33)可求得上式的Z变换,(7-40),2019/5/22,33,例7-6,已知连续函数x(t)的拉氏为 ， 求连续时间函数x(t)的Z变换。,解 将X(s)展成如下部分分式,对上式逐项取拉氏反变换，得,据求得的时间函数，逐项写出相应的Z变换，得,(7-41),2019/5/22,34,(3) 留数计算法 假如已知连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)及 全部极点si(i=1,2,3,n)，则x(t)的Z变换X(z) 可通过留数计算求得。,先分析X(z)
