张量分析简介

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1、张量分析简介,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,Appendix A,张量基本概念,标 量（零阶张量） 例如：质量，温度 质量密度 应变能密度 等等。 其值与坐标系选取无关。,张量基本概念,矢 量（一阶张量） 例如：位移，速度， 加速度，力， 法向矢量, 等等。,矢 量（一阶张量） 矢量u在笛卡尔坐标系中分解为,其中u1, u2, u3 是u的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。,张量基本概念,矢 量（一阶张量）,既有大小又有方向性的物理量; 其分

2、量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则。,张量基本概念,张量基本概念,张量（高阶）,例如：一点的应力状态要用应力张量表示，它是具有二重方向性的二阶张量，张量的各个分量值与截面法线方向和应力分解方向有关。,具有多重方向性的更复杂的物理量。,矢 量(可推广至张量)的三种记法：,实体记法： u 分解式记法： 分量记法：,Appendix A.1,张量基本概念,Appendix A.1,张量基本概念,指标符号用法 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：,求和约

3、定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。,张量基本概念,由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换： 由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：,只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围和 i 相同。,张量基本概念,约定： 如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j, k, 表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标, , , 均为二维指标，取值1, 2。,张量基本概念,拉丁指标,希腊指标,张量基本概念,二阶张量 应变 ，应力，速度梯度等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量

4、弹性张量，等。,张量基本概念,二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量； 低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。,张量基本概念,应力张量,张量基本概念,张量的三种记法： 实体记法： 分解式记法： 分量记法：,张量基本概念,张量基本概念,求和约定,采用指标符号后，线性变换表示为,利用求和约定，写成：,其中 j 是哑指标，i 是自由指标。,张量基本概念,在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：,若i为自由指标,张量基本概念,自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。 例如：表

5、达式 在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有,张量基本概念,同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。,i 换成k,张量基本概念,指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系,可简写成：,场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分：,张量基本概念,22,可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。 例如：,若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：,张量基本概念,23,但若ai可以任意取值等式始

6、终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。,张量基本概念,24,小结,通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项中若同时出现 m 对取值范围为1n 的哑指标，则此项含相互迭加的 n m 个项。,张量基本概念,25,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,26,符号ij 与e

7、rst,ij 符号 (Kronecker delta) 定义(笛卡尔坐标系),27,3. 换标符号，具有换标作用。例如：,2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间,即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而 自动消失。,符号ij 与erst,28,类似地有,符号ij 与erst,29,erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington) 定义(笛卡尔坐标系),(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。

8、,或,符号ij 与erst,30,特性 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0 对其任何两个指标都是反对称的，即 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变,符号ij 与erst,31,常用实例 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即 (当ij时) 不同基矢量互相正交，即 (当ij时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式：,符号ij 与erst,32,当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有,而对于左手系，有：,符号ij 与erst,33,2. 矢量的点积： 3. 矢量的叉积(或称

9、矢量积) ：,符号ij 与erst,34,叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量 a 和 b 构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。,符号ij 与erst,35,符号ij 与erst,36,三个矢量a, b, c的混合积是一个标量，其定义为：,符号ij 与erst,若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。 当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。,37,由此可见符号ij 和 erst 分别与矢量代数中的点积和叉积有关。,利用(1)和(2)式有,符号ij 与erst,38,4. 三阶行列式的值,符号ij 与

10、erst,39,1. 平衡方程：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,40,2. 几何方程：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,41,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,42,坐标与坐标转换,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系),43,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系) 坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,44,任意坐标系 坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,45,概念 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的

11、轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi,坐标与坐标转换,46,参考架 空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。 对笛卡尔坐标系：,坐标与坐标转换,47,三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基,坐标与坐标转换,48,欧氏空间中的一般坐标系 现在的坐标线可能不再正交； 不同点处的坐标线可能不再平行； 基矢量的大小和方向都可能随点而异； 各点处的参考架不再是正交标准化基。,坐标与坐标转换,49,坐标与坐标转换,50,设空间任意点P在原坐标系的矢径为 ，,是P点的三个坐标，,在新的坐

12、标系 下， P点的坐标为,老坐标系原点 O 在新坐标系中的矢径,是直角坐标系的基矢量。,坐标与坐标转换,上式两边点乘,左边：,右边：,是新坐标轴 与老坐标轴 之间的夹角余弦，称为转转系数.,（1）,坐标与坐标转换,把矢量关系写成，,同理可得,（2）,上式两边点乘,左边：,右边：,坐标转换的矩阵形式,坐标与坐标转换,53,转换矩阵,(设新老坐标原点重合),坐标转换的一般定义 设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系， 和 是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组 定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换。 其逆变换为 对(*)式微分,(*),坐标与坐标转换,54,处处不为零，则存在相应的逆变换，即

13、可反过来用 唯一确定,其系数行列式(雅克比行列式),坐标与坐标转换,55,容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且 J 处处不为零的转换函数所实现的坐标转换 正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系 反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系,坐标与坐标转换,56,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,57,张量的分量转换规律 张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。,张量的分量转

14、换规律,58,标量分量转换规律 设一个标量在新、老坐标系中的值为t 和t ，则 矢量分量转换规律,张量的分量转换规律,59,张量分量转换规律 以三维空间的二阶张量为例，其分解式是： 其中，Tij 为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。,张量的分量转换规律,60,张量的分量表示法,张量的实体表示法,（并矢表示法）,张量分量转换规律 即,张量的分量转换规律,61,高阶张量的分量满足如下转换规律,张量的分量转换规律,62,注： 在一个表示全部张量分量集合的指标符号 中，自由指标的数目等于张量的阶数 K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数 n，各

15、指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以 n 维 K 阶张量共有 nK 个分量。,张量的分量转换规律,63,张量方程 定义 每项都由张量组成的方程称为张量方程。 特性 具有与坐标选择无关的重要性质，可用于 描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。,张量的分量转换规律,64,目 录,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,65,张量代数 & 商判则,相 等 若两个张量 和 相等 则对应分量相等 若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。,66,和、差 两个同阶张量 与 之和(或差)是另一个同阶张量 其分量关系为,张量代数 & 商判则,67,数 积 张量A和一个数 (或标量函数) 相乘得另一同维同阶张量T 其分量关系为,张量代数 & 商判则,68,并 积 两个同维不同阶（或同阶）张量 A 和 B 的并积 T是一个阶数等于 A、B 阶数之和的高阶张量。 设 则 其分量关系为,张量代数 & 商判