《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君第3章 线性方程组 3.3 解线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君第3章 线性方程组 3.3 解线性方程组（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 解线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,本节将利用矩阵的初等行变换和矩阵的秩，,一般线性方程组解的存在性、,讨论,解的唯一性,以及解的一,般求法,设含有,个未知数,个方程的线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,若令,其中,称为系数,矩阵，,称为未知数向量，,称为常数项向量，,为增广矩阵，,称,则由矩阵的乘法运算，,方程组（3-3）,（3-3）,首页 上页 下页 返回 结束,方程（3-4）的解称为方程组（3-3）的解向量,线性方程组（3-3）,的形式不同而已，,今后不加区别地混同使用，,为线性方程组，,并都称,其解与解向量也不加区别,若线性方程组（3-3）有解，,则称其相容，,否
2、则，,称其不相容,与向量方程（3-4）只是表达,可表示成以向量,为未知元的向量方程,（3-4）,首页 上页 下页 返回 结束,定理3.3,元线性方程组,(1) 无解的充分必要条件是,(2) 有唯一解的充分必要条件是,(3) 有无穷多解的充分必要条件是,那么，,如何判定线性方程组是否有解,（即是否相,容）,以及有解时是否解唯一？,下面的定理给出答案,首页 上页 下页 返回 结束,证,(先证充分性),设,为叙述方便，,不妨设增广矩阵,经初等行变换化成行最简形为,首页 上页 下页 返回 结束,无解,(2) 若,则系数矩阵,列满秩矩阵，,从而,中所有,不出现，,（或不出现），,即,(1) 若,则,中的
3、,从而,中的第,行对应矛盾方程,因此，线性方,程组,是,首页 上页 下页 返回 结束,对应的方程组,就是,的唯一解,首页 上页 下页 返回 结束,(3) 若,则,首页 上页 下页 返回 结束,令自由未知数,程组（3-5），,由同解方,得线性方程组,带有,个参,（3-5）,非自由未知数，,对应的方程组为,中的,（或不出现），,这时可取,为,首页 上页 下页 返回 结束,数的解:,它又可表示为：,首页 上页 下页 返回 结束,（3-6）,因为参数,为任意常数，,所以解（3-6）,表示线性方程组（3-4）的任一解，,称它为线性方程,组（3-4）的通解，,故线性方程组,有无穷多解,首页 上页 下页 返
4、回 结束,(再证必要性),用反证法,若线性方程组,无解，,假设结论,不成立，,则,由(2)、(3)的充分性，,线性方程组,知,有解，,与线性方程组,相矛盾，,无解,故结论,成立,类似地，,可证(2)、(3)的必要性,事实上，,在定理3.3的证明过程中,组的一般解法，,已给出线性方程,现归纳如下：,首页 上页 下页 返回 结束,阵的初等行变换,将增广矩阵,化成行阶梯形,矩阵，,从中求得,和,(2)若,则方程组,无解；,(3)若,程组,有唯一解；,(4)若,则方程组,有无穷多解,这时需将,形矩阵进一步化简为行最简形矩阵，,的行阶梯,并把行最简形矩,个非零行的非零首元素,个未知数选作,对于,元非齐次
5、线性方程组,(1)先利用矩,阵中,则方,对应的,首页 上页 下页 返回 结束,得到方程组,含有,个参数的通解,特别地，,对于,元齐次线性方程组,显然，,它有解（零解）,(1)先将系数矩阵,化成行阶梯形,矩阵，,若,则方程组,只有零解,（即,解唯一）；,(2)若,则方程组,零解,有非,（即有无穷多解），,这时需将,的行阶梯形矩阵,非自由未知数，,其余,个未知数为自由未知数，,并令自由未知数分别为任意常数,从而,首页 上页 下页 返回 结束,进一步化简成行最简形矩阵，,类似于方程组,的情形(4)的解法，,得到方程组,含有,个,参数的通解,例3.8,求解齐次线性方程组,解,利用矩阵的初等行变换,先将
6、系数矩阵,化,首页 上页 下页 返回 结束,成行阶梯形矩阵：,方程组有非零解，,再将行阶梯,首页 上页 下页 返回 结束,形矩阵,进一步化简成行最简形矩阵：,同解的方程组,令自由未知数,方程组的通解,首页 上页 下页 返回 结束,或表示为：,首页 上页 下页 返回 结束,例3.9,求解非齐次线性方程组,解,利用初等行变换,先将增广矩阵,化成行阶梯,形矩阵：,首页 上页 下页 返回 结束,方程组无解,例3.10,求解非齐次线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,方程组有无穷多解，,再将,解,利用初等行变换,先将增广矩阵,化成行阶梯,形矩阵：,首页 上页 下页 返回 结束,同解的方程组,令自由未
7、知数,方程组的通解,的行阶梯形矩阵,进一步化简成行最简形矩阵：,首页 上页 下页 返回 结束,或表示为：,首页 上页 下页 返回 结束,求,为何值时，,此方程组,（1）有唯一解；,（2）无解；,（3）有无穷多解？,并在有无穷多解时，,求其通解,解法1,利用矩阵的初等行变换,先将增广矩阵,化成行阶梯形矩阵：,例3.11,设非齐次线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,即,有,故方程组有唯一解；,方程组无解；,首页 上页 下页 返回 结束,有,方程组有无穷多解,将,的行阶梯形矩阵进一步化成行最简形矩阵：,首页 上页 下页 返回 结束,同解的方程组,令,方程组的通解,
8、首页 上页 下页 返回 结束,解法2,（1）,系数矩阵,为方阵，,的克拉默法则知，,由第1章,方程组有唯一解的充分必要条件是,系数行列式,首页 上页 下页 返回 结束,方程组无解；,方程组有唯一解；,首页 上页 下页 返回 结束,（3）当,时，,有,方程组有无穷多个解,首页 上页 下页 返回 结束,同解的方程组,将,的行阶梯形矩阵进一步化成行最简形矩阵：,令,方程组的通解,首页 上页 下页 返回 结束,对含有参数的矩阵作初等变换，,如例3.11中的矩,阵,由于,等因式可以等于0，,故不宜作,诸如,这样的变换,如,果作了这样的变换，,则需对,的,情形另作讨论,首页 上页 下页 返回 结束,由定理3.3,可得到线性方程组理论中两个最基本,的定理：,定理3.4,元齐次线性方程组,充分必要条件是,有非零解的,定理3.5,线性方程组,有解的充分必要条,件是,定理3.5又可推广到矩阵方程，,即有,定理3.6,矩阵方程,有解的充分必要条件,首页 上页 下页 返回 结束,根据定理3.6，,可证明上一节中矩阵的秩的性质,(7)：,证,设,则矩阵方程,有解,由定理3.6，,有,是,证明,首页 上页 下页 返回 结束,又,同理，有,由矩阵的秩的性质(2)，,得,故,
