《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_数学实验 第5章数学实验5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_数学实验 第5章数学实验5（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学实验 5,首页 上页 下页 返回 结束,在本次实验中，介绍与向量组的正交化有关的,矩阵分解，如何求方阵的特征值与特征向量，,以及,如何通过正交变换化二次型为标准形.,实验5.1 向量组的正交化与矩阵的QR分解,A=（a1 , a2 , ,an）.,MATLAB中不采用Schmidt算法,将A的列向量组正交化，,因该算法对误差的积累比较,给定一个线性无关的向量组a1, a2, an , 令,首页 上页 下页 返回 结束,敏感，,而用更好的算法编成了矩阵正交分解子程序,qr.m.,首页 上页 下页 返回 结束,是n阶正交矩阵，,当nm时，输出的,矩阵，在Q中取前n列，就是待求的规范正交向量,当
2、m = n时，输出的变元Q,其列组就是待求的规范正交向量组，,R是一个n阶可逆的上三角矩阵.,而Q是m阶正交,调用格式：Q,R=qr(A)，得到的Q和R满足,QR=A.,组.,变元R是一个mn行阶梯形矩阵，,设A是mn矩阵，,首页 上页 下页 返回 结束,例5.19 将下列向量组正交化,解, a1=1;0;-1;1;a2=1;-1;0;1;a3=-1;1;1;0;,Q,R=qr(A), A=a1,a2,a3;,运行结果为,首页 上页 下页 返回 结束,Q =,R =,实验5.2 特征值与特征向量的求法,步骤的函数.,（1）用f=poly(A) 求n阶方阵A的特征多项式系数,（2）用lamda=
3、roots(f ) 求特征多项式 f 的全部根,向量 f （表示为行向量） ；,MATLAB提供了计算方阵的特征值和特征向量各,首页 上页 下页 返回 结束,（表示为列向量）；,这三个步骤是：,首页 上页 下页 返回 结束,实际上MATLAB已把求特征根和特征向量的步骤,（3）用p=null(lamda*E-A)直接给出基础解系p，,调用格式 p,lamda=eig(A).,特征向量，,进行了集成化，,便是A的特征向量.,利用库函数eig可同时求A的特征值与,例5.20 求 的特征值和特征向量.,r=roots(f);r=real(r),首页 上页 下页 返回 结束,A=3 2 4;2 0 2
4、;4 2 3;,f=poly(A),解 在MATLAB编辑器中建立M文件如下：,B1=r(1)*eye(3)-A;,p1=null(B1,r),B1=rref(B1,1e-12);,首页 上页 下页 返回 结束,f =,运行结果为,B2=r(2)*eye(3)-A;,p2=null(B2,r),p3=null(B3,r),1.0000 -6.000 -15.0000 -8.0000,r =,首页 上页 下页 返回 结束,p2 = p3=,p1 =,也可用函数eig来求A的特征值与特征向量.,首页 上页 下页 返回 结束,的线性无关特征向量是不同的.,其实特征向量本来不,若两者相互可以线性表示，
5、,A=3 2 4;2 0 2;4 2 3;,都是正确的，,是唯一的，,也是等价的.,两种方法解出的对应于二重特征值-1的,会发现：,p,lamda=eig(A),P=,lamda=,实验5.3 二次型的标准形,x= P y化成标准形,对于实对称阵A，找一正交阵P，使,二次型 f (x1,x2 , ,xn ) = xTA x，,首页 上页 下页 返回 结束,经过正交变换,等价于,首页 上页 下页 返回 结束,此用函数eig就可以为实对阵A找到正交阵P.,线性无关的特征向量组已是一个规范正交向量组，,在MATLAB中，对于实对称阵A，,函数eig给出的,因,例5.21 用正交变换法将下列二次型化为标准形,解 在MATLAB中编写M文件如下：,clear,A=0 -1 1;-1 0 1;1 1 0;,输入二次型矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,P,D=eig(A);,求矩阵A的特征值与特征向量,disp(正交矩阵为);,disp(对角矩阵为);,D,disp(标准化的二次型为);,f=y1 y2 y3*D*y1;y2;y3,syms y1 y2 y3,P,显示字符串正交矩阵为,首页 上页 下页 返回 结束,对角矩阵为,正交矩阵为,运行结果为：,P =,首页 上页 下页 返回 结束,f =,标准化的二次型为,D =,-2*y12+y22+y32,
