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1、用二元一次方程组解决问题例题目标认知学习目标： 1能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3体会列方程组比列一元一次方程容易4进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力5掌握列方程组解应用题的一般步骤；重点： 1经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。2进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。难点：正确找出问题中的两个等量关系知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
2、和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题：船在静
3、水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 船的顺水速度船的逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本（进价）利润率；(4) 标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：(1)基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金
4、。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率12 。注意：免税利息=利息 5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；原量(1减少率)减少后的量.7和差倍分问题：解这类问题的
5、基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解
6、答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即：（1） 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（2） 设：根据题意设元（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（6）检：检查所求的解是否符合实际问题;（7）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.要点诠释：(1)解实际应
7、用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 解答步骤简记为：问题方程组解答(4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验。 经典例题透析类型一：列二元
8、一次方程组解决行程问题1甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意： (1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2)有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160千米; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组 解这个方程组，得:.答：汽车行驶了16
9、5千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为
10、x、y千米/时，则()， 整理得，解得，因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时 点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离； “同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离举一反三：【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲、乙两人
11、每小时分别行走千米、千米。根据题意可得：解得：答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。分析：船顺流速度静水中的速度水速船逆流速度静水中的速度水速 解：设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，则 ，解得：答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。 跟踪训练1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，
12、相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？类型二：列二元一次方程组解决工程问题1一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？分析：由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得 解得： 答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生
13、产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天， 依题意，得 ， 解得点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公
14、司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：设甲、乙两公司每周完成总工程的和，由题意得：， 解得：所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元，万元，根据题意得：，解得：故甲公司单独完成需工钱：（万元）；乙公司单独完成需工钱：（万元）。 答：甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成. 跟踪训练1、 一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整
