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1、1李华 1990年 1月 1日在银行帐户上有 5000元存款, (1)在每年 10%的单利下,求 1994年 1月 1日的存款额。(2)在年利率 8%的复利下,求 1994年 5月 1日的存款额。解:(1)5000(1+410%)=7000(元)(2)5000(1+10%) 4.33=7556.8(元)2把 5000元存入银行,前 5年的银行利率为 8%,后 5年年利率为 11%,求 10年末的存款累计额。解:5000(1+8%) 5(1+11%) 5=12385(元)3李美 1994年 1月 1日在银行帐户上有 10000元存款。 (1)求在复利 11%下 1990年 1月 1日的现值。 (
2、2)在 11%的折现率下计算 1990年 1月 1日的现值。解:(1)10000(1+11%) -4=5934.51(元)(2)10000(1-11%) 4=6274.22(元)4假设 1000元在半年后成为 1200元,求 , i, 。)2(i)3(d解: ;所以120)(10(i 4.0)2(i ;所以2)(ii4.i ; nm ddii )1()1()1( (所以, ;13)()(id345.0)3(5当 时,证明: 。1n iidnn)()(证明:)(nd因为, 3)(32)(2)(10)(1( ndCndCndCn nn)(nd所以得到, ;)(nd )(n;)1()( mned m
3、mCCe nnnm 1)()()( 443322 所以,)1()( mdn)(ni, 即,in11)( )1ln()1ln( iin所以, )()( nnei mmCmCmCe nnnn 1)()()(1 443322 1)()( nin iin)(,ini11)( )(2)(2)(10)( 1 nnnnnn iiCiCi 所以, ii)(6证明下列等式成立,并进行直观解释: ; nmnmava解: , ,ianmnm1ivm1ivivav nmnmnm 1所以, nmnmmnm aivvav ;nmnmsva解: , ,ivamnm1ivamm1ivsvnmnm所以, nmnmnm aivv
4、sva 1 ;nmmnm aiss )1(解: ,ism)1(iiiisi mnmnmn )1()1()1()()1( 所以, nmnmmnmm siiiais )()()()1( 。nni)(解:(同上题)略。7某人今年 30岁, 其计划每年初存 300元,共存 30年建立个人存款能从 60岁退休开始每年年末得到固定金额,共能领取 20年。假设存款利率在前十年为 6%,后 20年为 12%,求每年能取的养老金额。解: 2102011020201030 )()()()( iiisis 所以 60岁时存款有 (元)5.973030s由此知, ,可得 X=7774.12(元)2020aX8某单位在
5、 20年内每年存入银行 5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第 2年起,每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工,这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为 8%,求每次能够提取的最大金额。解: 。所以 (元)82.2095010siXA 79.18304X9证明: ;nnn asai1证明: nnn aiiivva ,所以iis1)1(1 nnsa1 ;nnea1 nnnnn eeiv 1)(1)1( 。1nnes证明: 11)(1)1( nnnn eeis10假设每年第一年收付 200元,以后每隔一年增加收付 100元,增加到一次收付 1000元时不在增加,并一直保持每年 1
6、000元的水平连续收付。假设年利率为 12%,求这一年金的现值。解: 94.36210)1(810)1(00)( 9891 viiai aIa1依据生命表的基础填充下表: xxlxxq0 1000 100 0.9 0.11 900 150 5/6 1/62 750 150 0.8 0.23 600 300 0.5 0.54 300 180 0.4 0.65 120 120 0 16 03.已知 ,计算:)12(0xlx , , , , ;0l123d30p20q25 岁的人至少再活 20,最多活 25年的概率;三个 25岁的人均存活到 80岁的概率。解: ;10)21(0l 0)12(1012
7、0 l3510343 ld;9730520lp 3.0205203 lq 12504250lq07469.)198()(33258025 lp4若 , ,求:)(10xclx 4035lc 的值;生命表中的最大年龄;从出生存活到 50岁的概率;15 岁的人在 4050 岁之间死亡的概率。解: 。所以, c=9040)35(1035 cl ,所以,)90(xlx 9 1340550lp 。215041502lq5证明并作直观解释: ;xmnxnxmnppq证明: xmnxnxmxnxnnxxn pllll ;nxxnxnqpq证明: nxxnxxnxnxnnxxn qpllll 11 。nxmx
8、nxmn pp证明:nxmxnnxmxxnxxnxxmn pllllll 6证明: ;x xtxt ldl0 ;xtxtp0 1 ;)(txxxtxt 。txxtxtpp证明: xx xxxxtxt llllldl 0 0 x xxxtxxxtxtxttxt lldlldlldp 0 00 1)(1111; )()()()( 2 txxxtxtxtxtxtxt xtxtxxtxt plDlllDl llllp 。txxttxtxtxtxtxt pllllp )(7分别在死亡均匀分布,死亡力恒定和鲍德希假设下,用课本附表 1给出的生命表计算: ; ; 。2541q4021q3150解: 0357
9、.15.96048241125252541 ldqtpqxt略。8若 , ,计算 :74640l 768141l 410死亡均匀分布假设;鲍德希假设;假设 。xlx 10解: ;08496.14040 qt 084263.,1401410elptepxtxt可 令 。084573.)1(410 xxqt9证明在鲍德希规律下, 与 n无关。x证明: xxsnnxsqxn 1)()(1)所以, 与 n无关。x1. 某人 10岁买了定期生存保险,这一保险使其从 18岁到 25岁每年得到 2000元生存保险金,以附表 2转换函数值计算这一年金现值。解: (元)5.427.02020101881018
10、Na2证明下列等式成立,并解释其含义。 ;1xxavpa证明: 11 1 xxxxx avpaDN ;11xxavpa证明: 1xx所以, 11xx avpa ;)(: xnnxnx E证明: nxxxnXnxxnXxnxnnxaDN DNDNa: 1111: )()()1( ;nxxnxnpva证明:nxnnxxnxnnxxnxxn apvDNpvEDNDN 111 ;nmxxmmxmnxapvaa : 证明: mnxxnmxnmxxmnmxmx xnxxnxnxmxxmxnxxnx aDNDNDNapvaEDNa :111111: 1111:11: 11: 11 )( xxx ai证明:
11、1111111 )( xxxxxxxxx aiDpvNDENpDNpap3某人在 50岁时以 50000元的趸缴净保费购买了每月给付 k元的生存年金。假设购买后次月开始给付,求 k值。解: 62.3850)24683.12()12(1150)2(50 kaka4给付 50岁的人每月 200元,第一次从 60岁开始,共付 10年的生存年金转换函数表达式。解: )2413(240400 706051)1(0:6501)12(501 aaEaEa 7以转换函数表达下面变动年金的现值。对(x)第一年末给付 1000元,以后每年比上年增加给付 500元, ,当年给付金额达到 5000元时,又以每年 10
12、00元的幅度递减,直到 1000元后保持不变,直到被保险人死亡为止。解: 14144:998: 0)(10)(50 xxx avDavIav8假设对所有 x,有 ,证明以利率 i和 为基础计算的终身年金现值与以xxprp)( xp和 为基础计算的终身年金现值相等。ri1x解:以 为计算基础,xpitxxtt txxttxttxx ppri pivEa 1 111)()( )1(以 、 计算ri1 xptxxt txxttxttxx ppir ppivEa 1 111)( )1(1假设 ,求 50岁的人投保 100000元终身寿险的精算现值。10.),15(10ilx解: )(01tldtxx 1501550 )(1tttvlA2某保单规定,若被保险人在投保后 20年内死亡,则在第 20年末给付 1单位保险金,若被保险人在投保 20年以后死亡,则在死亡年年末给付 1单位保险金。写出对(x)的保单精算现值的表达式。解: xxtt xttxttAqvqvA201902 11902)( )()(3某人在 30岁时投保了 10000元延期 25年的定期寿险,求这一保单的精算现值。解: xnmxmxxtnmttnxm DMqvA 1:所以