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1、1李华 1990年 1月 1日在银行帐户上有 5000元存款， （1）在每年 10%的单利下，求 1994年 1月 1日的存款额。（2）在年利率 8%的复利下，求 1994年 5月 1日的存款额。解：（1）5000（1+410%）=7000（元）（2）5000（1+10%） 4.33=7556.8（元）2把 5000元存入银行，前 5年的银行利率为 8%，后 5年年利率为 11%，求 10年末的存款累计额。解：5000（1+8%） 5（1+11%） 5=12385（元）3李美 1994年 1月 1日在银行帐户上有 10000元存款。 （1）求在复利 11%下 1990年 1月 1日的现值。 （
2、2）在 11%的折现率下计算 1990年 1月 1日的现值。解：（1）10000（1+11%） -4=5934.51（元）（2）10000（1-11%） 4=6274.22（元）4假设 1000元在半年后成为 1200元，求 ， i, 。)2(i)3(d解： ；所以120)(10(i 4.0)2(i ；所以2)(ii4.i ； nm ddii )1()1()1( (所以， ；13)()(id345.0)3(5当 时，证明： 。1n iidnn)()(证明：)(nd因为， 3)(32)(2)(10)(1( ndCndCndCn nn)(nd所以得到， ；)(nd )(n；)1()( mned m
3、mCCe nnnm 1)()()( 443322 所以，)1()( mdn)(ni， 即，in11)( )1ln()1ln( iin所以， )()( nnei mmCmCmCe nnnn 1)()()(1 443322 1)()( nin iin)(，ini11)( )(2)(2)(10)( 1 nnnnnn iiCiCi 所以， ii)(6证明下列等式成立，并进行直观解释： ； nmnmava解： ， ，ianmnm1ivm1ivivav nmnmnm 1所以， nmnmmnm aivvav ；nmnmsva解： ， ，ivamnm1ivamm1ivsvnmnm所以， nmnmnm aivv
4、sva 1 ；nmmnm aiss )1(解： ，ism)1(iiiisi mnmnmn )1()1()1()()1( 所以， nmnmmnmm siiiais )()()()1( 。nni)(解：（同上题）略。7某人今年 30岁， 其计划每年初存 300元，共存 30年建立个人存款能从 60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取 20年。假设存款利率在前十年为 6%，后 20年为 12%，求每年能取的养老金额。解： 2102011020201030 )()()()( iiisis 所以 60岁时存款有 （元）5.973030s由此知， ，可得 X=7774.12（元）2020aX8某单位在
5、 20年内每年存入银行 5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第 2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为 8%，求每次能够提取的最大金额。解： 。所以 （元）82.2095010siXA 79.18304X9证明： ；nnn asai1证明： nnn aiiivva ，所以iis1)1(1 nnsa1 ；nnea1 nnnnn eeiv 1)(1)1( 。1nnes证明： 11)(1)1( nnnn eeis10假设每年第一年收付 200元，以后每隔一年增加收付 100元，增加到一次收付 1000元时不在增加，并一直保持每年 1
6、000元的水平连续收付。假设年利率为 12%，求这一年金的现值。解： 94.36210)1(810)1(00)( 9891 viiai aIa1依据生命表的基础填充下表： xxlxxq0 1000 100 0.9 0.11 900 150 5/6 1/62 750 150 0.8 0.23 600 300 0.5 0.54 300 180 0.4 0.65 120 120 0 16 03.已知 ，计算：)12(0xlx ， ， ， ， ；0l123d30p20q25 岁的人至少再活 20，最多活 25年的概率；三个 25岁的人均存活到 80岁的概率。解： ；10)21(0l 0)12(1012
7、0 l3510343 ld；9730520lp 3.0205203 lq 12504250lq07469.)198()(33258025 lp4若 ， ，求：)(10xclx 4035lc 的值；生命表中的最大年龄；从出生存活到 50岁的概率；15 岁的人在 4050 岁之间死亡的概率。解： 。所以， c=9040)35(1035 cl ，所以，)90(xlx 9 1340550lp 。215041502lq5证明并作直观解释： ；xmnxnxmnppq证明： xmnxnxmxnxnnxxn pllll ；nxxnxnqpq证明： nxxnxxnxnxnnxxn qpllll 11 。nxmx
8、nxmn pp证明：nxmxnnxmxxnxxnxxmn pllllll 6证明： ；x xtxt ldl0 ；xtxtp0 1 ；)(txxxtxt 。txxtxtpp证明： xx xxxxtxt llllldl 0 0 x xxxtxxxtxtxttxt lldlldlldp 0 00 1)(1111； )()()()( 2 txxxtxtxtxtxtxt xtxtxxtxt plDlllDl llllp 。txxttxtxtxtxtxt pllllp )(7分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表 1给出的生命表计算： ； ； 。2541q4021q3150解： 0357
9、.15.96048241125252541 ldqtpqxt略。8若 ， ，计算 ：74640l 768141l 410死亡均匀分布假设；鲍德希假设；假设 。xlx 10解： ；08496.14040 qt 084263.,1401410elptepxtxt可 令 。084573.)1(410 xxqt9证明在鲍德希规律下， 与 n无关。x证明： xxsnnxsqxn 1)()(1)所以， 与 n无关。x1. 某人 10岁买了定期生存保险，这一保险使其从 18岁到 25岁每年得到 2000元生存保险金，以附表 2转换函数值计算这一年金现值。解： （元）5.427.02020101881018
10、Na2证明下列等式成立，并解释其含义。 ；1xxavpa证明： 11 1 xxxxx avpaDN ；11xxavpa证明： 1xx所以， 11xx avpa ；)(: xnnxnx E证明： nxxxnXnxxnXxnxnnxaDN DNDNa: 1111: )()()1( ；nxxnxnpva证明：nxnnxxnxnnxxnxxn apvDNpvEDNDN 111 ；nmxxmmxmnxapvaa : 证明： mnxxnmxnmxxmnmxmx xnxxnxnxmxxmxnxxnx aDNDNDNapvaEDNa :111111: 1111:11: 11: 11 )( xxx ai证明：
11、1111111 )( xxxxxxxxx aiDpvNDENpDNpap3某人在 50岁时以 50000元的趸缴净保费购买了每月给付 k元的生存年金。假设购买后次月开始给付，求 k值。解： 62.3850)24683.12()12(1150)2(50 kaka4给付 50岁的人每月 200元，第一次从 60岁开始，共付 10年的生存年金转换函数表达式。解： )2413(240400 706051)1(0:6501)12(501 aaEaEa 7以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付 1000元，以后每年比上年增加给付 500元， ，当年给付金额达到 5000元时，又以每年 10
12、00元的幅度递减，直到 1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。解： 14144:998: 0)(10)(50 xxx avDavIav8假设对所有 x，有 ，证明以利率 i和 为基础计算的终身年金现值与以xxprp)( xp和 为基础计算的终身年金现值相等。ri1x解：以 为计算基础,xpitxxtt txxttxttxx ppri pivEa 1 111)()( )1(以 、 计算ri1 xptxxt txxttxttxx ppir ppivEa 1 111)( )1(1假设 ，求 50岁的人投保 100000元终身寿险的精算现值。10.),15(10ilx解： )(01tldtxx 1501550 )(1tttvlA2某保单规定，若被保险人在投保后 20年内死亡，则在第 20年末给付 1单位保险金，若被保险人在投保 20年以后死亡，则在死亡年年末给付 1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。解： xxtt xttxttAqvqvA201902 11902)( )()(3某人在 30岁时投保了 10000元延期 25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。解： xnmxmxxtnmttnxm DMqvA 1:所以
