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1、第三节 数学建模简介,建立数学模型是我们用数学来解决实际问题的关键，有了数学模型，我们可以暂时脱离问题的实际背景而对它进行纯数学的研究。一旦有了数学上的结论，我们可以将它放回到所讨论的实际问题中去解释，并检验其是否合乎实际情况。若有不符，我们再重新审视和修改数学模型，然后重复上述过程，直到符合需要为止。 建立数学模型的分析、综合、提炼、抽象的过程就是所谓的数学建模。,目录,数学建模示意图,这个流程图为我们提供了一个思考问题的框架，当我们面对一个实际问题感到困惑而无法入手建模时，它将给我们提供一条思考的途径。,例1 建立人口增长的数学模型,1、忽略人群个体之间的差异。 2、人口群体的规模相当大，
2、以至于人口随时间的增减的变化过程可以认为是连续的，并且是充分光滑的。 3、考虑一定的区域内的一个封闭的群体，即不存在迁出和外来的迁入。 4、从一个大的总体来考虑人口的死亡和繁殖过程的平均效应。,考虑人口增殖过程。为简化问题的研究，我们给出如下的假设：,例1 建立人口增长的数学模型 考虑人口增殖过程。为简化问题的研究，我们给出如下的假设：,5、人口的增长过程是平稳的,与时间没有关系 6、每个人的增殖过程是独立的,即与群体的总数无关。,例1 建立人口增长的数学模型,1、忽略人群个体之间的差异。,由假设1,，t时刻群体的人口总数N(t)就是这个群体的基本的数量特征。,由假设2,， N(t)是连续的，
3、而且充分光滑。于是可以考虑在微小的时间段t,t+t内群体N(t)的变化量。,2、人口群体的规模相当大，以至于人口随时间的增减的变化过程可以认为是连续的，并且是充分光滑的。,例1 建立人口增长的数学模型,3、考虑一定的区域内的一个封闭的群体，即不存在迁出和外来的迁入。,由假设3,，对于人群的每一个个体来说，生殖或死亡都是随机发生的。,例1 建立人口增长的数学模型,4、从一个大的总体来考虑人口的死亡和繁殖过程的平均效应。,由假设4,，死亡总数和生殖总数应该是死亡和生殖数的平均值。,它们与群体总数的比值d(t, t，N) ，b(t, t，N)是个体死亡率和生殖率的估计值，也可以理解为每个个体平均死亡
4、和生殖的比率。,于是,例1 建立人口增长的数学模型,因为N(t)是光滑的，,即有,所以，中值定理得,其中,即有,2、人口群体的规模相当大，以至于人口随时间的增减的变化过程可以认为是连续的，并且是充分光滑的。,以及上式当 t 0时为 0,例1 建立人口增长的数学模型,整理得,其中,取极限,得,令,例1 建立人口增长的数学模型,5、人口的增长过程是平稳的,与时间没有关系 6、每个人的增殖过程是独立的,即与群体的总数无关。,由假设5,、假设6,，可知,不依赖于t也与N无关，于是有,参数,例1 建立人口增长的数学模型,这就是我们建立的人口增长模型的一个结果，利用这个等式我们可以初步进行人口增长的预计。但是结果是不够精确的，要得到更精确的结果。我们需要进行更精细的假设，建立更好的模型。有兴趣的同学可以继续深入思考这个问题。 这个例子中，模型的组建主要是在一个微小的时间区间内利用物质平衡法则得到的。,作业 P170 习题5.3 1,
