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1、,按一定规则排列的无穷多个数,一、数列的概念：,例如,称作数列，简记作 xn ，其中 x1 叫做数列的第一项， x2叫做数列的第二项， xn叫做数列的第n项，又称一般项或通项。,简记作,简记作,数列,数列,目录,第二节 极限的定义,例1 数列,我们考察,这个数列的通项为,当n无限增大时，,的变化趋势。,可见，当n无限增大时，2n无限增大，,的变化趋势。,其倒数,无限地趋近于常数0。,例2 数列,所以该数列无极限。,数列的通项为 xn ( 1)n+1 ，当 n 无限增大时， xn 总在 1 和 1 两个数值上跳跃，永远不趋于一个固定的数。,例3,例3,例3,例3,例3,例3,例3,例3,例3,例
2、3,例3,例3,例3,无限地趋近于常数 0。,定义2.9 对于数列xn,如果当n无限变大时，,趋于一个固定常数 A ，则称当 n 趋于无穷,大时，数列 xn 以 A 为极限，记作,亦称数列xn收敛于A ；如果数列xn没有,极限，就称xn 是发散的。,例如 例1中,数列 以 0 为极限，记作,例2中,数列 无极限，是发散的。,或,二、函数的极限,定义2.10 如果当 x 0 且无限增大时,函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x 趋于正无穷时， f (x)以 A 为极限，记作,或,如果函数 f (x) 不趋于一个常数 A ，则称当 x 趋于正无穷时，f (x) 的极限不存在。,1、当 x
3、 时,类似地有：,如果当 x 0且绝对值无限增大时，函数 f (x)趋于一个常数 A，则称当 x 趋于负无穷时，以 A 为极限，记作,如果当 x的绝对值无限增大时，函数 f (x)趋于一个常数 A，则称当 x 趋于无穷大时，函数以 A 为极限，记作 ：,或,可以看出当 x 时，函数 趋向于0。,所以,由函数图像观察函数的变化趋势：,定义2.11 设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域(点 x0 本身可以除外)内有定义，如果当 x 趋于 x0 (但 x x0 )时，函数 f (x) 趋于一个常数 A, 则称当 x 趋 x0于时，f (x) 以 A 为极限，记作,或,亦称当 x趋于 x0
4、时，f (x) 的极限存在，否则称当,极限实质上是描述在自变量的某个变化过程中函数是否有确定的变化趋势，函数有确定的变化趋势，就可能有极限，否则函数就一定没有极限。,2、x x0 时函数的极限,时， f (x) 的极限不存在。,例5 求,例6 求,从上述例题我们知道常数函数的极限是它本身,函数 y 始终为常数 c，,解：,是常量函数，无论自变量如何变化，,解：,当,时，有,三、左极限与右极限,时的极限。,在 f (x) 的 x 0 任一邻域，函数的表达式不同，由函数极限的定义直接求极限是不可能的。对于这一类型的极限怎样求？为此引入 下面定义：,引例： 求分段函数,，当,定义2.12 设函数 y
5、 f (x) 在点 x0 右侧的某个邻域 (点 x0 本身可以除外) 内有定义，如果当 x x0 且 x趋于 x0时，函数 y f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x 趋于 x0 时，f (x)的右极限是 A，记作,设函数 y f (x) 在点 x0 左侧的某个邻域(点 x0 本身可以除外)内有定义，如果当 x x0 且 x 趋于 x0 时，函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x 趋于 x0 时，f (x)的左极限是 A，记作,或,或,例7 设 ，求 和,当 时， 的左、右极限与 在 时的极限有如下关系：,定理2.1 当 x x0时，f (x) 以 A为极限的充分必要条 件是在点 x0 处左、右极限存在且都等于 A ，即,解：,如例7，因为,所以当,时，,的极限不存在。,思考题,左极限存在,右极限存在,不存在.,作业 习题2.2 2,
