现代控制理论 教学课件 ppt 作者 赵光宙 第三章

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1、第三章 动态系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法,1 稳定性基本概念,一、外部稳定性与内部稳定性,1外部稳定性,考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。,系统的外部稳定性也称有界输入有界输出（BIBO）稳定性。,对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。,如果由非零初始状态 引起的系统自由运动 有界，即：,2内部稳定性,考虑输入量为零时的线性系统,并满足渐近属性，即,，则称该系统是内部稳定的。,它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平 衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性

2、。,二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它 们是完全等价的。,内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提 出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，,二、李亚普诺夫稳定性基本概念,（一） 系统运动及平衡状态,1自治系统,自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。,线性系统：,2受扰运动,将自治系统在初始状态 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 。,对非线性系统，一般有多个平衡状态。,3. 平衡状态,如果存在 ，对所有的t有 成立，称状态 为上述 系统的平衡状态。,若A非奇异， 唯一的平衡状态 若A奇异，

3、平衡状态,非唯一,通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有：,如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。,任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态，,所以讨论零平衡状态 的稳定性具有普遍意义。,可以将下式看成为状态空间中以 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 ；把上式视为以 为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 。球域 依赖于给定的实数 和初始时间 。,（二）稳定性定义,1. 稳定,设 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 ， 都对应地存在另一实数 ，使得由满足式子,的任一初始状态 出发的受扰运动

4、都满足,则称平衡状态 是稳定的。,从球域 内任一点出发的运动 对所有的 都不超越球域 。,如果 与 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。,平衡状态 是稳定的几何解释：,一个二维状态空间中零平衡 状态 是稳定的几何解释 如右图 。,上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。,不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且,则称平衡状态 为渐近稳定。,从球域 内任一点出发的 运动 对所有的 不仅不超越球域 ，而且当 时，最终收敛于平衡状态 。,2. 渐近稳定,渐近性,几何解释：,二维状态空间中零平衡状态 为渐近稳定的几何解释如右图。

5、,满足渐近稳定的球域 只是状态空间中的有限部分，这时称平 衡状态 为局部渐近稳定，并且称 为渐近稳定吸引区，表示只 有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态 。,线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。,若 与 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。,若 ，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能 有一个平衡点。,满足上面两点的为全局一致渐近稳定。,渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性,3. 不稳定,无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内 总存在非

6、零点 ，使得由 出发的运动轨迹 越出球域 ，则称平衡状态 为不稳定。,二维状态空间中零平衡状态 为不稳定的几何解释如右图。,对于非线性系统，也有可能趋于 以外的某个平衡点或某个极限环。,单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。,线性定常离散系统平衡状态 为渐近稳定的充要条件是 系统矩阵 的所有特征值的模都小于1。,2 李雅普诺夫稳定性分析方法,一、李雅普诺夫第一法,又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性， 比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。,1线性系统情况,线性定常连续系统平衡状态 为渐近稳定的充要条件 是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。,与经典控制理论的各种

7、判据一致,2非线性系统情况,对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。,非线性自治系统：,为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。,是系统的一个平衡点。,高阶导数项之和,3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。,2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在 不稳定；,1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 渐近稳定；,按 在 邻域研究平衡点 的稳定性。即：,李雅普诺夫第一法需要求出系

8、统的全部特征值，这对于高阶系统 存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有 效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。,设 为关于n维向量 的标量函数，并且在 处，有 ， 则对于任意的非零向量 ，有：,一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为 ， 如果不显含时间 ，则表示为 。,二、李雅普诺夫第二法,又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。,不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，

9、它具备能量函数的基 本属性正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。,（一）预备知识,1标量函数的定号性, 若 ， 为负定；, 若 ， 为正定；, 若 ， 为正半定；, 若 可正可负， 为不定。, 若 ， 为负半定；,2. 二次型函数,： 是 的权矩阵,设x为n维向量，则称标量函数,为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。,权矩阵 P为实对称矩阵, 若 ，P为正半定；, 若 ，P为负定；,而P的定号性由Sylvester准则确定：, 若 ，P为正定；,的1n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：,为实对称矩阵

10、 P, 若 ，P为负半定。,则平衡状态 是大范围渐近稳定的。,（2） 为负定；,（1） 为正定；,则系统的平衡状态 是渐近稳定的，并称 是该系统 的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足,设系统的状态方程为 ，且其平衡状态为 ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，并且满足条件：,（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据,1渐近稳定基本判定定理 ：,（3）,条件（1）保证了 具备“广义能量”函数的特性，,条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减，,条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。,2渐近稳定判定定理2 ：,系统及平衡状态同上，如果 满足条件：,（1） 为正定；,

11、（2） 为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即 对于 有 ；,则系统的平衡状态 是渐近稳定的。同样，如果还满足,（3）,则平衡状态 是大范围渐近稳定的。,条件（2）表示在 某处会出现 但不恒为零的情况，这 时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切， 但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点 ， 所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。,3李雅普诺夫意义下稳定判定定理：,如果 满足条件：,（1） 为正定；,（2） 为负半定；,则系统的平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的。,条件（2）不强调 不恒为零，意味着系统向着小“能量”方 向运动的过程中与某个等“能量”面相切，

12、但可能不再离开该等“能 量”面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。,4不稳定判定定理：,如果 满足条件：,（1） 为正定；,（2） 为正定；,则系统的平衡状态 是不稳定的。,条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着 越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。,如果上述定理的条件（2）为 即正半定时，也可推论出 两种情况：,（1） 时 不恒为零，此时该平衡点不稳定；,（2） 时 存在恒为零，此时该平衡点为李雅普诺夫意义 下稳定。,（三）关于李雅普诺夫第二法的讨论,（1）上述结论适用于任何性质的系统，但针对定常系统时，李雅普 诺夫函数一般地不显含时间变量，即为 。,（2）上述结论中

13、的条件只是充分条件，如果找不到满足定理条件的 李雅普诺夫函数 并不能对系统的相应稳定性作出否定性结论。,（3）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数通常是非唯一的，但这 并不影响结论的一致性。,（4）上述结论中除了明确指出稳定性的大范围特性外，都只表示了 系统在平衡状态附近某个邻域内的稳定性能，即局部稳定性能。,为不定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能作出关于平衡点稳定性能的判断。,为负半定，由上述定理，应考察 时 是否恒为0的情况：,可见只有在平衡状态 时 ，所以 为渐近稳定。,又：,所以 为一致大范围渐近稳定。,系统为定常系统，,为负定，所以 为渐近稳定。,（3）选二次型函数,同理有,所以

14、 为一致大范围渐近稳定。,李雅普诺夫函数非唯一性，构造没有一般规律可循。,3 线性系统的Lyapunov稳定性分析方法,对于线性系统，经常选取二次型函数作为李雅普诺夫函数，并由 此得出一些更有效的判别定理。,一、定常连续系统,取二次型标量函数,(P为正定、实对称),线性定常连续系统渐近稳定判定定理：,线性定常系统 在平衡点 大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足矩阵方程：,Q为实对称矩阵,定理给出的是充要条件，上面的讨论过程已经说明了条件的充分性，条件必要性的证明见教材。,注意的几点：,（1）系统在平衡点 渐近稳定时有,A的特征值 都具有负实部,（2）定理中正定的实对称矩阵Q是任意取的，但为了简化矩阵方程 的求解，常取它为正定对角阵或单位矩阵。,（3）如果对于 有 Q可取为正半定。,（4）解得正定的实对称矩阵P，则 为系统的一个李雅普诺 夫函数。,P正定,系统在平 衡点渐近稳定,当 时，有 ，所以平衡状态 是大范围一致渐 近稳定的。,二次型函数,是系统的一个李雅普诺夫函数，,二、时变连续系统,设 为系统唯一的平衡状态。取二次型标量函数,为一致正定及一致有界的实对称矩阵,显然 为正定函数,时变连续系统 在平衡点 为一致大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的一致正定及一致有界的实对称时变矩