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1、06版陈文登复习指南习题详解（本答案来自互联网，答案未经审订，仅供参考）高等数学习题一1 填空题设，则常数_ 解答 由题意可得即_解答 且又由夹逼原则可得原式已知极限，则解答当时，由可得原式同理可得故原式已知则_解答 原式已知函数则_解答 又所以_解答 原式设函数有连续的导函数，,若在处连续，则常数解答 设当时，=为的阶无穷小，则解答 由此可得，_解答 原式 已知，则，解答 =若极限存在则得故2选择题设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则必有间断点必有间断点必有间断点必有间断点解答若连续，则也连续，与题设矛盾，所以应该选.设函数则是偶函数无界函数周期函数单调函数解答因为，所以，又为无界函
2、数，当任意给定一正数，都存在时，使得，于是，故为无界函数，所以应该选.当时，函数的极限是等于等于为不存在但不为解答 所以应该选.若函数在处连续，则的值是解答 ，则，所以应该选.极限的值是不存在解答 原式，所以应该选.设则值是均不对解答 原式解得所以应该选.设则的值为，均不对解答 原式，由可得，所以应该选.设则当时，是的等价无穷小与是同阶但非等价无穷小是比较低阶的无穷小是比较高阶无穷小解答 原式，所以应该选.设则的值是解答 若原式极限存在，当时，由可得，所以应该选.设其中则必有解答 原式可得，所以应该选.3计算题求下列极限解答 原式解答 原式解答 原式解答 原式又所以原极限求下列极限解答 原式解
3、答 原式1解答 原式求下列极限解答 原式 ()解答 原式解答 原式解答 原式且又，故由夹逼原则知原式解答 当时，原式当时，原式当时，原式其中解答 原式 ()4设试讨论在处的连续性和可导性.解答 由 于是在处连续.分别求在处的左、右导数所以在处连续且可导.5求下列函数的间断点并判别类型.解答 为函数的间断点又所以为函数第一类跳跃间断点.解答 当时，当时，当时，即，所以为函数第一类间断点.解答 当时，所以为第一类跳跃间断点.当时，不存在，所以为第二类间断点.当时，所以为第一类可去间断点.当时，所以为第二类无穷间断点.6试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值.解答 原式存在由可得，即则原式同理由可
4、得，即所以原式7设，且是的可去间断点，求的值.解答 存在，由可得.原式存在，同理由可得.8设求的值.解答 原式()由可得原式，即9讨论函数在处的连续性.解答 当时，所以若时，在连续.若时，在为第一类跳跃间断点.当时，是的第二类间断点.10设在的某邻域内二阶可导，且求及解答 由可得所以第二章一、填空题7设，则_解答 原式所以8已知，则_解答 原式即令，则9设为可导函数，则_解答 原式10设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为_解答 两边求导将代入可得故所求的方程为二选择题1 设可导，则是在处可导的充分必要条件充分但非必要条件必要但非充分条件既非充分又非必要条件解答 若在处可导，即，所以应该
5、选.2 设是连续函数，且，则解答 ，所以应该选.3 已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是解答 ，由数学归纳法可得，所以应该选.4设函数对任意均满足，且，其中为非零常数，则在处不可导在处可导，且在处可导，且在处可导，且解答 ，故应选. 二、选择7设在处可导，则为任意常数为任意常数解答 由在连续可得由在可导得则，所以应该选.8设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在解答 当时，则等价于，所以应该选.9设函数在上可导，则当时，必有当时，必有当时，必有当时，必有解答 若设时，均错误，若设时，错误，故选.10设函数在处可导，则函数在处不可导的充分条件是且且且且解答 令，由导数
6、定义可得若，由的连续性及保号性可得，此时若，同理可得.故若不存在，则若，且，设，由于所以当时，时，则故不存在，所以应该选.三计算题1，求.解答 2已知可导，求.解答 3已知，求.解答 等式两边对求导可得化简可得4设的函数是由方程确定的，求.解答 等式两边对求导可得化简得5已知，求.解答 6设，求.解答 等式两边对求导可得可得又所以7设函数二阶可导，且，求.解答 8设曲线由方程组确定，求该曲线在处的曲率.解答 ，则四已知，其中有二阶连续的导数，且确定的值，使在点连续；求.解答 即当时，在处连续.当时，有当时，由导数的定义有五已知当时，有定义且二阶可导，问为何值时是二阶可导.解答 在处连续则即在处
7、一阶可导，则有此时，在处二阶可导，则有六已知，求.解答 又在处的麦克劳林级数展开式为通过比较可得，当时，当时，七设，求.解答 ,通过递推公式可得当时，八证明满足方程证明：化简可得得证.第三章1求下列不定积分.解答 原式解答 原式解答 原式解答 原式解答 设原式2求下列不定积分.解答 设原式解答 设，原式解答 设原式解答 原式解答 设原式解答 设，则原式解答 设，原式3求下列不定积分.解答 原式解答 设，则原式4求下列不定积分.解答 设，原式解答 设，原式5求下列不定积分.解答 原式解答 所以解答 原式解答 原式移项得解答 原式6求下列不定积分.解答 原式再求设，则原式=所以原式解答 设原式解答
8、 设原式7设，求解答 当时当时因为在处连续，可得，所以8设，(为不同时为零的常数)，求.解答 设，则又所以即9求下列不定积分.解答 原式解答 原式解答 原式解答 原式10设当时，连续，求解答 原式11设，求. 解答 设，则所以12求下列不定积分.解答 设原式解答 设原式解答 设原式解答 设原式13下列不定积分. 解答 设原式解答 设原式解答 设，则原式解答 设，原式14求下列不定积分.解答 原式解答 原式解答 原式15求下列不定积分.解答 设原式 解答 设原式解答 设原式习题四（1）1 若在上连续，证明：对于任意选定的连续函数，均有则在上，证明：假设在上存在使得，令，由于在上连续，故存在在上，
9、使得.又令则结论与题设矛盾，故假设不成立.2 设为任意实数，证明：证明：设，则所以即，得证.3 已知在连续，对任意都有证明：证明：在连续,则，又所以1 设为大于的正整数，证明：.证明：=即若，则于是这与推论矛盾，所以若，则于是这与推论矛盾，所以综上所述，有.1 设在上连续，且单调减少，证明：对于满足的任何，有证明：由积分中值定律有又，且单调递减，故当时，所以即2 设在上二阶可导，且证明：证明：由泰勒公式有又，则两边积分可得7设在上连续，且单调不增，证明：任给，有证明：，所以又，单调不增，当时，所以8设在上具有连续的二阶导数，且，证明：在内存在一点，使证明：由泰勒公式有，其中具有二阶导数，设最大
10、值为，最小值为，即则即，由介值定理可得，至少存在一点，使得即，得证.9设连续，证明：证明：设，则10设在上连续，在内存在且可积，证明：证明: 由，可得，其中即12设在上连续，且，则证明：令，则两边积分得令，消除后得即13设函数在上具有一阶连续导数，且，证明：证明：由柯西不等式有14设函数在上连续，且，证明：，使证明：因为在上连续，则必存在一点，使得，即，即习题五1. 设函数在在闭区间上可微，对于每一个，函数的值都在开区间内，且，证明：在内有且仅有一个，使.证明：设，则在上连续，又，所以，由零值定理可知，在内至少存在一个，使，即.利用反证法证明在内至多有一个零点.设且使得，则由拉格朗日中值定理可得，至少存在一个，使得这与题设矛盾，综上所述，命题得证.2设函数在上连续，内可导，且，
