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1、第八章 有约束优化方法,随机方向法,有约束优化方法的Matlab程序及实例,3,1,2,拉格朗日乘子法,4,5,复合形法,惩罚函数法, 内容 ：本章介绍了多维有约束的优化方法，主要包括随机方向法、拉格朗日乘子法、惩罚函数法、复合形法，每种方法通过算法分析、程序框图以及实例分析进行介绍。其中，对惩罚函数法从内点法、外点法以及混合法三个方面进行探讨。最后通过 Matlab实例求解讨论了有约束优化方法的求解过程。 目的 ：了解有约束优化方法的基本概念和处理问题步骤，重点掌握拉格朗日乘子法和惩罚函数法的求解过程，能够通过Matlab工具实现有约束优化方法的求解。,机械优化设计问题大多数属于有约束优化问
2、题，其数学模型可表示为：,按照对约束条件处理的方法的不同，分为两种解法： （1）直接法 （2)间接法,8.1 随机方向法,随机方向法是约束优化问题中经常采用的一种直接求解方法。它适于解决带有不等式约束的优化问题。,随机方向法一般迭代计算公式为：,随机方向探索法的计算过程可归结为：,8.1 随机方向法（续）,图 随机方向法程序框图,8.2 拉格朗日乘子法,引入拉格朗日函数：,为拉格朗日乘子。转化后的无约束优化问题的极值条件为：,例8-1 使用拉格朗日乘子法求,的极小值。,8.3 惩罚函数法,惩罚函数（简称罚函数）：,其惩罚项必须具有下列性质：,惩罚函数法可分为外点法、内点法以及混合法三种。,8.
3、3 惩罚函数法（续）,内点法的起始点须是可行点，其迭代点都在可行域内移动。 内点法惩罚函数一般表达式为：,例8-2用内点法求,的约束最优解。,根据内点法的算法描述，可画出其计算程序框图， 如图8-2所示。,8.3 惩罚函数法（续）,图 内点法程序框图,8.3 惩罚函数法（续）,外点法的特点是将惩罚函数定义在约束可行域之外,例8-3用外点法求,的约束最优解。,例8-4用外点法求,的约束最优解。,罚因子,被取为一个递增正数列，即：,即,8.3 惩罚函数法（续）,图 外点法程序框图,8.3 惩罚函数法（续）,对于外点法而言，其主要特点为： （1）初始点任选。故可用于初始可行点不易确定、约束较多的优化
4、问题； （2）可以同时处理不等式约束和等式约束条件； （3）罚因子不断增大，极小点序列从可行域外部逼近最优点。只有迭代到可行域边界才能得最终正确的结果。 相当外点法，内点法的特点分析如下： （1）初始点必须在可行域内； （2）只能处理不等式约束。因为满足等式约束的迭代点既不是内点，也不是外点；,8.3 惩罚函数法（续）,（3）罚因子不断减小，极小点序列从可行域内部逼近最优点； （4）内点法适合于容易确定可行初始点，且对现有可行设计作改进的情况。 混合惩罚函数法综合了外点法和内点法的优点。,其方法和步骤如下： （1）给定K值， n+1 K2n； （2）通过以下方法生成初始复合形： 直接选择K个可
5、行点，构成初始复合形 试选K个可行点，构成初始复合形。但是当设计变量较多或约束函数较复杂时，人工决定K个可行点往往很困难。只有在设计变量少，约束函数简单的情况下，才用这种方法。 利用随机投点法构造初始复合形 （3）检查K=K1是否满足，如果K K，则令K= K+1，并转步骤（2），直至产生K个可行点，构成初始复合形X1 X2 XK。,8.4 复合形法,例8-5 用复合形法求 的约束最优解。,8.4 复合形法 （续）,例8-6 通过Matlab编程实现下述约束优化问题的求解：,8.5 有约束优化方法的Matlab程序及实例,例8-7 试设计某压缩圆柱螺旋弹簧，要求其质量最小。其中，弹簧材料为65
6、Mn，最大工作载荷Pmax=40N，最小工作载荷为0，载荷变化频率fr=25Hz，弹簧寿命为104h，弹簧钢丝直径d的取值范围为14mm，中径D2的取值范围为1030mm，工作圈数n不应小于4.5圈，弹簧缠绕比C不应小于4，弹簧一端固定，一端自由，工作温度为50，弹簧变形量不小于10mm。,8-1 试用Matlab编程实现下述约束优化问题的随机方向法的求解：,本章习题,8-2使用拉格朗日乘子法求,的极小值。,8-3 用惩罚函数内点法求,的约束最优解。,8-5 用复合形法求 的约束最优解。,本章习题,8-6有一铝合金制品箱形盖板，其尺寸如下图。承受的均布载荷纵向每单位长度q=60Ncm，要求在满足强度、刚度和稳足性等条件下，设计一个重量最轻的结构方案（设箱形盖板弹性模量E=7104MPa，泊松比=0.3，允许弯曲应力=70MPa，允许剪切应力 =45MPa，假设收敛精度为=1e-6。）,
