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1、第十八章 机械振动基础,机械振动：是指处于稳定平衡的物体受到挠动后在其平衡位置附近的往复运动。 学习的重点是单度系统的自由振动、阻尼振动和强迫振动；两个自由度系统的振动。,18.1 单自由度系统的自由振动,一、运动方程,即单自由度系统的自由振动微分方程。,单自由度系统自由振动微分方程的广义坐标形式形式。,它的解为,可以看出，振动由两部分组成： （1）由初始位移单独引起的； （2）由初始速度单独引起的。,表示单自由度系统的自由振动是简谐振动 。,二、无阻尼自由振动的周期和频率,自由振动的周期,自由振动的频率,固有频率,图中的两个梁为无重弹性梁，设梁长为l、刚度为EI，梁上重物的质量均为m，试求两
2、梁的自振频率。,例题 第18章 机械振动基础,两个梁的刚度系数分别为,由自振频率公式可得两梁的自振频率：,三、串联和并联弹簧的等效刚度系数,1弹簧并联,当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。,2弹簧串联,当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。,18.2 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼的概念,阻尼：振动过程中的阻力。,一般的机械振动系统都可以简化为由惯性元件（m）、弹性元件(k)和阻尼元件（c）组成的系统。,二、振动微分方程,上式即有阻尼自由振动微分方程的标准形式。,下面按就，和=三种不同状态分别进行讨论。,1、欠阻尼状态,当时，
3、阻力系数 ，这时阻尼较小，称为欠阻尼状态。,2、临界阻尼和过阻尼状态,当 ( =1)时，称为临界阻尼状态。,当( )时，称为过阻尼状态。,图为一弹性杆支持的叶轮示意图，弹性杆扭转刚度系数为k，叶轮对杆轴的转动惯量为J。设叶轮受到与转动速度成正比的切向阻力，其衰减扭振的周期为。求叶轮所受阻力偶矩与转动角速度的关系。,例题 第18章 机械振动基础,叶轮绕杆轴转动微分方程为,阻尼力偶系数,衰减振动周期,18.3 单自由度系统的无阻尼受迫振动,在激振力作用下的振动称为受迫振动 。,受迫振动中最普遍最基本的情况简谐激振力作用下系统的受迫振动规律，简谐力F是随时间按正弦或余弦变化的力，其表达式可写成：,一
4、、振动微分方程,该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式。,以广义坐标表示的无阻尼受迫振动微分方程的标准形式为,无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。,二、受迫振动的振幅,对受迫振动的振幅B与激振力频率p的关系作如下讨论：,(2)若01（1n） ,振幅B随着频率p单调上升，当p时，振幅B将趋于无穷大。,(1)若 （n=1），不能迫使系统振动。,(3)若 ,动力系数n随着激振力频率增大而减小，振幅减小。当p，振幅B趋于零。,三、共振现象,上式表明，当共振发生时，受迫振动的振幅随时间的增长在不断增大，其运动图线如图所示
5、：,当 ,即 时，此时激振力频率等于系统的固有频率，振幅B在理论上会无限增大，这种现象称为共振。,18.4 单自由度系统的有阻尼受迫振动,即有阻尼受迫振动微分方程的标准形式。,单自由度系统有阻尼受迫振动的振幅和位相差的算式 ：,有阻尼受迫振动由两部分合成：,1、衰减振动 瞬态过程 2、受迫振动 稳态过程,为了更好地表达出受迫振动的振幅与各影响因素之关系的物理实质，下面采用量纲的形式。,取频率比：,取振幅比：,取阻尼比：,(1)当s1 时，即激振力的频远远小于系统固有频率的情况。这时可忽略阻尼的影响，将系统作为无阻尼的受迫振动处理。,(2)当s1时，此时激振力的频率接近系统的固有频率。,共振频率
6、,振幅,可以看出：阻尼越小，共振频率越接近系统的固有频率，共振时振幅的峰值越高。一般情况下，阻尼比1，可以认为共振频率p=，即当激振力频率等于系统固有频率时，系统发生共振。共振的振幅为,(3)当s1 时，即激振力的频率远远大于系统的固有频率时，阻尼对受迫振动的振幅影响也较小，这时又可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。,由图中曲线可以看到：相位差总是在0。至180。区间变化，是一单调上升的曲线。共振时s=1， 。当越过共振区之后，随着频率p的增加，相位差趋近，这时激振力与位移反相。,图为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系数为c，距3l处有一刚
7、度系数为k的弹簧，并作用一简谐激振力FFPsinpt。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率，以及当激振力频率p=时质点的振幅。,例题 第18章 机械振动基础,设刚杆在振动时的摆角为，由刚体定轴转动微分方程可建立系统的振动微分方程为,例题 第18章 机械振动基础,令,即系统的固有频率，当p=时，其摆角的振幅可求出,18.5 隔 振,隔振是将振源与需要防振的物体用弹性元件和阻尼元件进行隔离开来，而减振则是使振动物体的振动减弱。,隔振分为主动隔振和被动隔振两类。,一、主动隔振,主动隔振是将振源隔离起来，消除振源传递媒介，保护周围需要防振的设备。,FNmax是振源传递给基础
8、的最大传递力。,称为力的传递率 。,当s 时，加大阻尼反而使振幅增大，降低隔振效果。但是阻尼太小，在越过共振区时会产生很大的振动，因此采取隔振措施时，要选择恰当的阻尼值。,二、被动隔振,被动隔振是将需要防振的物体隔离起来。,为振动物体的位移与地基激振位移之比，称为位移传递率。,位移传递率曲线与力的传递率曲线同上，所以，被动隔振的措施也与主动隔振相同。,18.6 两个自由度系统的自由振动,上式是两个自由度系统的微分方程组。,以1、2为广义坐标，则系统自由振动的运动微分方程的标准形式为：,下面对两个自由度的振动系统作一具体讨论。,频率方程,解得两个主频率,振幅比,上述讨论归纳如下：两个自由度系统的
9、自由振动，有两个固有频率，对应系统的两个主振动；系统的一般运动是两个主振动叠加的结果；系统的主振动是简谐振动，固有频率决定于系统的物理特性，与运动的初始条件无关，而振幅和初相角则与运动的初始条件有关；两个主振动的振型是一定的，有相同的频率和相角，从而两个质体的广义坐标的变化同步。,均质细杆质量为m，长为l，由两个刚度系数皆为k的弹簧对称支承，如图所示。试求此系统的固有频率和固有振型。,例题 第18章 机械振动基础,设两个弹簧的支点的位移为xl和x2，如图所示。则两个弹簧的恢复力,例题 第18章 机械振动基础,均值杆的平面运动微分方程,系统的两个固有频率,18.7 两个自由度系统的受迫振动,两个
10、自由度的系统受到随时间变化的干扰力作用时的运动,即两个自由度系统的受迫振动。,系统的运动微分方程为：,广义坐标下的系统的运动微分方程为：,我们只讨论干扰力为谐振动的情况，即,方程组的特解可设为,解得其中：,当p为系统的固有频率时，即,受迫振动的振幅将无穷大，系统发生振动,各阶共振时的振幅比,当激振力的频率p趋于零时，周期趋于无穷 ，即激振力的变化极其缓慢，实际上接近静载荷。,试求此系统的固有频率和固有振型。,例题 第18章 机械振动基础,设,与广义坐标下的系统的运动微分方程比较可得,物体A与弹簧1所组成系统的固有频率,求出系统的两个固有频率,两物块的振幅，其化简后的结果为,两物块振幅的放大系数,放大系数 ，随频率比 的变化曲线如图所示，该曲线表示强迫振动的振幅随而变化的情况。,
