现代控制理论 教学课件 ppt 作者 赵光宙 第五章

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1、第五章 线性反馈控制系统的综合,第五章 线性反馈控制系统的综合,综合：在给定被控对象的情况下，研究如何通过确定系统的控制规律（包括确定控制器的结构及参数，或者确定施加于系统的控制作用等），来满足系统所预期的运动形式或性能指标要求。,要求的运动形式或性能指标可分为非优化型和优化型两种。,4）使一个多输入多输出系统变成为“一个输入量只控制一个输出量， 一个输出量只受一个输入量控制” 为目标解耦控制问题；,非优化型性能指标：,1）以一组期望的闭环系统极点作为目标极点配置问题；,2）以系统在平衡点渐近稳定作为目标镇定问题；,3）使输出无静差地跟踪外部给定信号为性能指标渐近跟踪问题；,控制规律一般采用“

2、反馈控制”形式，这是由于反馈控制在抗扰动和抗参数变动等方面具有明显优势 。,还有一些为控制系统的工程实现而提出的问题，主要有：,（1）状态反馈的实现问题。很难通过直接量测获取全部状态变量。,（2）外部扰动影响的抑制问题。扰动对跟踪精度会产生直接的影响。,（3）系统模型的不准确和系统参数的摄动问题。鲁棒性分析及设计 。,优化型性能指标：使描述系统性能或品质的某些“指标”在一定意义下 达到最优值。,一、状态反馈控制系统的构成,1 状态反馈控制系统,控制作用是状态负反馈。,被控对象 （或开环系统）：,这时系统矩阵由A变为(A-BK)，系统的极点由 的根变 为 的根。系统的n个极点通过K的变化而变化，

3、从而影响系统状态的运动形式 。,这时状态反馈系统（闭环系统）的动态方程为：,一个好的状态反馈系统应是极点可以任意配置的。,对于n个任意指定的期望极点 可以得到闭环系统特征多 项式：,二、极点任意配置的条件,定理：一个线性定常系统可通过状态反馈控制任意配置它的全部极点的充要条件是系统完全能控。,证明： 充分性。设系统能控，则必存在 将原系统化为能控标 准形，即,仅就单输入单输出的情况进行讨论。,引入状态反馈：,设状态反馈行向量取值为：,得闭环系统的状态方程为：,对应的闭环系统特征多项式为：,与任意指定的n个期望极点所对应的闭环系统特征多项式一致，即 按上面式子取状态反馈行向量总能使闭环系统的n个

4、极点位于任意指 定的位置上。,所以，只要开环系统能控，总存在状态反馈控制可以任意地配置闭 环系统的全部极点。充分性得证。, 必要性。（反证法）,设系统不能控，必能通过非奇异变换 进行按能控性分解：,引入状态反馈：,得闭环系统的系统矩阵为：,相应的闭环系统特征多项式为：,状态反馈能改变系统能控部分的极点：,不能改变系统不能控部分的极点：,所以，要通过状态反馈控制配置系统全部极点，必须是系统能控。,（4）由 ，解n个联立的代数方程，得到,（3）由闭环系统的动态方程写出闭环系统的特征多项式 ：,（2）由给定的期望闭环极点组 ，写出期望的特征多项式 ：,三、单输入系统极点配置算法,求取状态反馈向量k，

5、使闭环系统的极点位于期望位置上（具体位置由所要求的系统性能决定）。下面给出3种方法。,1方法一（解联立方程）：,（1）判断被控对象的能控性 ；,解：首先由能控性矩阵判断系统的能控性：,由给定的期望闭环极点组，写出期望的闭环特征多项式 ：,由闭环系统的动态方程写出闭环特征多项式 ：,得联立方程：,可画出状态反馈控制系统的状态变量图：,即状态反馈向量为：,2方法二（利用能控规范型求）：,由上面证明过程可知，先变换为能控规范型给求解状态反馈行向 量带来方便，其具体步骤是：,（1）同样要先判断被控对象的能控性 ；,（2）求得开环系统的特征多项式：,（3）由给定的期望极点组求得期望的特征多项式 ：,（4

6、）按被控对象是能控规范型形式求得新状态空间中的状态反馈行 向量：,（5）求取将原系统化为能控规范型的变换矩阵P；,（6）由 求得状态反馈行向量P。,极点配置,可图示如下：,上例：,解：,结果与方法1一样。,3方法三（艾克曼公式）：,由给定的期望极点组，可得期望的特征多项式 ：,闭环系统的系统矩阵为： ，,它的各次幂为：,）,式中：,0,（凯莱哈密顿定理）,能控性矩阵,注意到所求的状态反馈行向量k是 维矩阵M的最后一行，所以有 ：,如果记 为 的最后一行，并有 ，上 式可写为 ：,得：,上式为艾克曼公式，利用它求解k的步骤：,（1）判别被控对象的能控性；,（2）求出能控性矩阵的逆阵 ，并取其最后

7、一行 ；,（3）由给定的期望极点组，求得期望的特征多项式 ：,（4）利用艾克曼公式求得状态反馈行向量：,上例：,解：,（2）求得：,（3）,（4）,结果与前面的方法一样。,四、多输入系统极点配置算法,多输入系统的状态反馈矩阵K是 维的，有 个元素可变，而 系统只有n个极点需配置。所以极点配置计算较复杂，K不唯一。,本教材介绍了三种极点配置计算方法：,1化为单输入系统的极点配置算法；,2基于旺纳姆能控规范型的极点配置算法；,3基于龙伯格能控规范型的极点配置算法；,五、关于极点配置的几点说明：,（1）实现多输入系统极点配置的状态反馈矩阵K不是唯一的，满足闭 环极点期望值的K都是极点配置的正确值，但

8、是其元素取值较小的矩 阵K更具工程意义。,（2）在安排闭环极点位置时，既要考虑具有较大负实部的闭环极点， 使过渡过程加快，也要考虑这将使所需的控制量幅值增大，导致系统 响应的幅值增大。,（3）闭环零点也会影响系统的动态特性。状态反馈控制在改变系统极点位置的同时，对系统零点位置的影响有下面二点结论：,1）单输入单输出系统的状态反馈控制一般不改变系统的零点，除非 配置的极点与零点相消（消去的极点对应了不能观的状态变量 ）。,2）多输入多输出系统的状态反馈控制，传递函数矩阵各元的零点可 能会改变。下面用例子说明。,例55 考虑由如下系数矩阵决定的线性定常系统,为配置系统的极点，引入状态反馈矩阵：,试

9、比较状态反馈控制前后的系统极点及零点。,解： 状态反馈控制前系统的传递函数矩阵为,系统极点为1，2，3。,状态反馈控制后闭环系统的传递函数矩阵为,系统极点为1，2，3。传递函数矩阵的大部分元的分子多项 式发生了变化，表明对应的零点改变了。,（4）当被控系统不能控时，不能通过状态反馈任意配置n个极点。但 是，如果期望的n个极点中包含了所有不能控的极点时，仍然可以通过 状态反馈实现对这样一组极点的配置。,六、状态反馈对系统能控性和能观性的影响,（1）状态反馈不改变系统的能控性。,中 的各列可由 的各列线性组合表示， 的 各列可由 的各列线性组合表示。依此类推， 的各列都 可由 的各列线性组合表示。

10、所以有,这是因为，开环系统的能控性矩阵为：,闭环系统的能控性矩阵为：,（2）状态反馈有可能改变系统的能观性。,例如一个能控能观的单输入单输出系统，在状态反馈控制下,当配置的极点正好与不变的系统零点相消时，闭环系统不再是既能控又能观了，但系统的能控性没有改变，只有系统的能观性改变了。,例56 分析下面系统在状态反馈控制下的能控、能观性,解： 开环系统的能控性、能观性矩阵分别为,开环系统既能控又能观。,闭环系统的能控性、能观性矩阵分别为,闭环系统能控不能观。,闭环系统的传递函数为,出现了零极点相消现象，消掉的极点（1）对应的状态变量不能观。,2 、 输出反馈控制系统,将输出量通过反馈矩阵引入到系统

11、输入端的一种控制形式。输出量通常总是可以量测的，所以优点在于它的物理实现性 。,一、输出反馈控制系统的构成,取系统的控制量为：,闭环系统的状态空间表达式为：,二、输出反馈控制系统的极点配置,输出反馈控制是否与状态反馈控制一样能够实现系统极点的任意配 置呢？回答是否定的。,首先看一下二者是否等价，若等价则必须有：,已知H必可求K，即状态反馈可以替代任何输出反馈。,但是，一般情况下已知K 不能求出H，即输出反馈不能替代状态反馈。,有如下结论：输出反馈控制一般不能任意配置系统的全部极点。,说明：（以单输入单输出系统为例说明）,闭环系统的传递函数为：,可得：,有：,h变化时系统的闭环极点如何变化，能否

12、任意变化？,由经典控制理论的根轨迹法，上式是根轨迹的基本方程式。可见， 当输出反馈矩阵（这里是标量h ）变化时，系统的闭环极点只能在以 开环极点为“始点”以开环零点或无穷远处为“终点”的一组有限的线段 （根轨迹）上变化，而不能落在这些线段以外的位置上。,从输出方程也可看出，输出反馈是将状态变量按一定规则组合以后 的反馈控制，它减小了状态反馈的自由度。因此可以说，输出反馈是 系统结构信息的不完全反馈，对应地，状态反馈是系统结构信息的完 全反馈。, 对于n维能控能观系统，如果 则可对 个闭环极点实现“任意接近”地配置。, 如要对全部极点实现任意配置，可以在引入上述输出反馈的同时， 引入附加的串联补

13、偿器。或者采用并联补偿器替代输出反馈。当然补偿器的引入会提高系统的阶次 。,输出反馈系统的极点配置问题曾经是控制理论的研究热点，其中得到一些可供我们参考的结论：,三、输出反馈对系统能控性和能观性的影响,（1）输出反馈不改变系统的能控性。,将输出反馈视为特定的状态反馈，而状态反馈是不改变系统能控 性的。,（2）输出反馈不改变系统的能观性。,开环系统的能观性矩阵：,闭环系统的能观性矩阵 ：,的各行可由 的各行线性组合表示， 的各行可由 的各行线性组合表示。依此类推， 的各行都可由 的各行线性组合表示。所以有：,3 系统镇定问题,对于线性定常系统，如果可以找到状态反馈（或输出反馈）使闭环 系统渐近稳

14、定，则称系统是状态反馈（或输出反馈）可镇定的。,从系统极点的角度看，系统镇定就是通过状态反馈（或输出反馈）使闭环系统的全部极点都具有负实部，所以系统镇定的目标是通过状态反馈（或输出反馈）将系统的全部极点分布在左半开s平面，而不必配置在具体指定的位置上，因此系统的镇定问题实际上是极点配置的一种特殊情况。,一、状态反馈镇定,通过设计合适的状态反馈矩阵K，使闭环系统的全部极点都具有负 实部。,1. 状态反馈可镇定条件,结论：线性定常连续系统状态反馈可镇定的充要条件是系统的不能控部分渐近稳定。,因为,对于不完全能控的系统 ，必存在非奇异变换 将其按能控性分解为：,新状态空间有状态反馈矩阵:,所以有:,

15、由子系统 能控，必存在 使 的根具有负 实部，但不能控子系统的极点不受状态反馈控制的影响。因此，当且 仅当系统的不能控部分是渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。, 把原系统 经非奇异变换 按能控性分解，得出能控 子系统 和不能控子系统，判别可镇定性。并求出 。,2、状态反馈镇定算法,目的是通过状态反馈控制将位于右半闭s平面上的极点调整到左半开s平面。,严密的算法应该是：, 对能控子系统进行非奇异变换 ，化为特征值规范型，即得:,当被控系统能控时，系统的全部极点都能在状态反馈控制作用下 实现任意配置，当然能保证闭环极点都具有负实部。可见，系统能 控是状态反馈可镇定的充分条件。,其中： 为 阵，且全部特征值都大于等于0（右半闭s平面）。,为 阵，且全部特征值都小于 0 （左半开s平面）。,并求出变换阵 。, 利用极点配置算法，求出