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1、第 十 五 组足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加3分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的排名。模型二：
2、根据比赛的数据，建立了一个的数字矩阵，在合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用C+编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。模型三：用三分制计算对任意第i队与第j队（i不等于j）的得分比，其中=1，得到比分矩阵,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相应的特征向量。比较分向量的大小，即可求出排名。模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。四个模型的运行结果如下的表所示： 名次模型123456789101112模型一模型二模型
3、三模型四 四个模型都能推广到任意N个队的情况，对于不同的模型，数据所要求具备的条件是不一样的。关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。建立数学模型，对数据进行分析，对十二支分队进行排名，并要求能够推广到N个
4、队，计算出对于N个队的排名情况，对于所设计出来的数学模型说明所要求数据具备的条件有哪些。设计方案的方法是多种多样的，可以运用模糊数学、图论、层次分析等等，然而由于能力有限或者题目数据的限制，我们仅用其中较为浅显的理论，进行了建立模型。二、 合理的假设1、 参赛各队都是按照自己的真实水平发挥的，且在短时间内，真实水平是不发生变化的，比赛结果没有人为或其它非正常因素的影响。2、 每场比赛的结果对排名的估计的重要程度是一样的，具有相同的可信度。3、 每一场比赛都是由比赛规则决定的，没有弃权的现象。三、 模型建立模型一：平均积分法1、 合理假设：假设赢一场比赛得3分，平局得1分，输一场比赛不得分。这是
5、根据全国足球联赛的规则中查得的数据。2、 符号说明：第i支队总的比赛场数；第i支队获胜的比赛场数；第i支队平局的比赛场数；第i支队被打败的比赛场数；第i支队总积分；第i支队的平均积分；3、 由假设依次计算出每一队的总积分和平均积分： 目标函数：约束条件：模型二：图论1、 建立了一个的数字矩阵,打败时，记标记；两者平局或者两者之间没有比赛时不做任何标记；输给时，标记；2、 根据所得的的矩阵，统计出每一行为1的总数，即每一队打败的对手数，记作一个向量；3、 如果向量中有相同的元素，如，则从1到12(即N)分别求出被打败的所有队的的总和，并作为新向量中的值，得到新向量；如果还有相同元素，则根据抽签的
6、原则随机的让其中一方为1，另一方为0，最终得到0-1矩阵；4、 根据所得矩阵，在编写好的C+程序中执行，得到哈密顿开路的路径；5、 每一个哈密顿路径都是一种排名结果，但它对矩阵的依赖性太强，需要我们进一步结合题目中的数据进行分析最终得到排名结果。模型三：比分矩阵法1、 对模型一的平均积分法有其不可改变的不合理性：在计算比赛得分时没有考虑对手的强弱。比如，强队胜强队得3分，强队胜弱队同样得3分。所以采用得分比矩阵同样是用三分制计算对任意第i队与第j队(i不等于j)的得分比，其中=12、 根据比分矩阵(其中为i队的平均分与j队的平均分的比值)，求出比分矩阵的最大特征值，进而得出相应的特征向量。比较
7、分向量的大小，即可求出排名。模型四：层次分析在此模型中，我们采取层次分析法。在本题中，我们认为影响参赛队排名主要有一下三个因素：平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。1、我们根据层次分析法建立如下的层次关系：排名平均分净球数赢的场数与比赛的场数之比目标层准则层各因素，相对于目标y（其中）的重要性。用下表数值表示/相等较强强很强绝对强13579若介于上述两者之间，则取2，4，6，8。通过三个因素对排名的影响构造矩阵C，其中C=，以上的数据我们可以写出矩阵C，然后求出最大特征值和其对应的特征向量。将特征向量归一化，就可以得到，的值，我们就可以求出排名了。四、 模型求解模型一：平均积分
8、法1、计算结果如下表所示：参赛队总积分比赛的场数平均分T134191.7895T221151.4000T327151.8000T49190.4737T5890.8889T6651.2000T739172.2941T822171.2941T923171.3529T1024171.4118T11590.5556T121091.1111 2、排名结果： 3、模型推广：对于任意的N队，通过比赛所得的数据，我们都可以按照平均积分进行排序，对于平均积分相同的情况下，可以考虑对净胜球、总的进球率等等进行排名，如这些因素还是相同的话，只好随机抽签对这些水平相当的队进行排序。模型二：图论1、 ，得2、 第二步：
9、得3、 从上述1、2我们还是没有办法决定和、和的胜负，由抽签的原则，我们假设败给了，败给了，最终完善的矩阵：4、 从题目中的数据以及由模型一可得：和队实力最强，而和的实力相对最弱。5、 从程序的运行结果中选择以和开头的哈密顿开路路径，结果如下表所示。表格一：371291086125114371910826125114372910816125114378129106125114378191026125114378291016125114379108126125114371012986125114371019826125114371029816125114371081296125114表格二：71
10、29108361251147191083261251147291083161251147812910361251147819103261251147829103161251147831291061251147831910261251147832910161251147839101261251147910831261251147101298361251147101983261251147102983161251147103129861251147103198261251147103298161251146、对数据分析：(1)、从以上两个表格得出，、一定为最 后五名；(2)、因为和队实力最强，所以
11、我们参照表格一的结果，同时，之所以表格一中在之前，只是因为题目中的数据中，与比赛时，前者获胜了，而综合题目中的数据及模型一，后者的实力更强一些，所以后者为冠军，前者为亚军。(3)、对、进行排名：结合向量对他们排名得7、模型二最终排名： 模型三：得分矩阵1、 比分矩阵：2、 我们用matlab软件可以求出B的最大特征值及其对应的特征向量，可以得到矩阵B的最大特征值为12.0000，其对应的特征向量为：3、所以我们得出各参赛队的排名结果为：模型四：层次分析1、我们根据题目可以得出各参赛队的平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。参赛队平均分净胜球赢的场数与该对比赛的场数之比T11.7895810/19T21.400021/3T31.800088/15T40.4737-201/19T50.8889-52/9T61.2000-42/5T72.29412513/17T81.294126/17T91.3529-67/17T101.4118-26/17T110.5556-71/9T121.1111-32/93、 我们可以写出矩阵C:4、 在matlab软件中，可以求出C的最大特征值为= 3.0092，特征值对应的特征向量为，将其归一化得向量，
