《材料力学 教学课件 ppt 作者 闵小琪 第八章 第八章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学 教学课件 ppt 作者 闵小琪 第八章 第八章（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.1 概述,1.工程中的弯曲变形问题,第八章 弯曲变形,第八章 弯曲变形,厂房行车,第八章 弯曲变形,摇臂钻床,梁除了要有足够的强度之外还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。,第八章 弯曲变形,但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要.,例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.,第八章 弯曲变形,（1）挠度,2.弯曲变形,横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.,第八章 弯曲变形,（2）转角,横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转
2、角. 用 表示。,第八章 弯曲变形,（3）挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线 .,式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度.,挠曲线,挠曲线方程为,第八章 弯曲变形,（4）挠度与转角的关系,第八章 弯曲变形,（5）挠度和转角符号的规定,挠度向上为正,向下为负.,转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.,第八章 弯曲变形,在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正.,曲线向上凸时:,曲线向下凸时:,第八章 弯曲变形,8.2 挠曲线的微分方程,推导公式,1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系,横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则,第八
3、章 弯曲变形,2.由数学得到平面曲线的曲率,第八章 弯曲变形,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,第八章 弯曲变形,8.3 用积分法求挠度和转角,1.微分方程的积分,若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成,第八章 弯曲变形,（2）再积分一次,得挠度方程,2.积分常数的确定,（1）边界条件,（2）连续条件,（1）积分一次得转角方程,第八章 弯曲变形,第八章 弯曲变形,w,例1图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 和最大转角 。,第八章 弯曲变形,（1） 弯
4、矩方程为,解：,（2） 挠曲线的近似微分方程为,对挠曲线近似微分方程进行积分,第八章 弯曲变形,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件,将边界条件代入（3）（4）两式中,可得,第八章 弯曲变形,第八章 弯曲变形,第八章 弯曲变形,解:由对称性可知,梁的两个支反力为,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,第八章 弯曲变形,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件x=0 和 x=l时,在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，,最大转角和最大挠度分别为,在梁跨中点处有最大挠度值,第八章 弯曲变形,例3图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和
5、转角方程,并求其最大挠度和最大转角.,第八章 弯曲变形,解: 梁的两个支反力为,两段梁的弯矩方程分别为,第八章 弯曲变形,两段梁的挠曲线方程分别为,（a）（0 x a）,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,第八章 弯曲变形,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,（b）（ a x l ）,第八章 弯曲变形,D点的连续条件,边界条件,代入方程可解得:,第八章 弯曲变形,（a）（0 x a）,（b）（ a x l ）,第八章 弯曲变形,将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,第八章 弯曲变形,当 a b时, x1 a 最大挠度确
6、实在第一段梁中,第八章 弯曲变形,梁中点 C 处的挠度为,结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.,第八章 弯曲变形,8.4 用叠加法求弯曲变形,梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就 是叠加原理.,1.叠加原理,第八章 弯曲变
7、形,(1)载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.,(2)结构形式叠加（逐段刚化法）,第八章 弯曲变形,按叠加原理求A点转角和C点挠度.,解:（a）载荷分解如图,（b）由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形.,B,第八章 弯曲变形,（c）叠加,第八章 弯曲变形,例4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A , B 。,第八章 弯曲变形,解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示,第八章 弯曲变形,例5试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角A
8、, B .,解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.,第八章 弯曲变形,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,在跨中C截面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零，且该截面的弯矩也等于零；,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l /2 的简支梁。,第八章 弯曲变形,可得到：,将相应的位移进行叠加, 即得,第八章 弯曲变形,最大位移控制,指定截面的位移控制,例如滑动轴承处:,8.5梁的刚度计算,第八章 弯曲变形,例6下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆
9、的刚度.,第八章 弯曲变形,解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.,第八章 弯曲变形,（2）叠加求复杂载荷下的变形,第八章 弯曲变形,（3）校核刚度:,（rad）,第八章 弯曲变形,基本概念,1.超静定梁,8.6简单超静定梁,单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁, 称为超静定梁。,第八章 弯曲变形,2.“多余”约束,多于维持其静力平衡所必需的约束,3.“多余”反力,“多余”与相应的支座反力,4.超静定次数,超静定梁的 “多余” 约束的数目就等于其超静定次数.,n = 未知力的个数 - 独立平衡方程的数目,第八章 弯曲变形,求解超静定梁的步骤,1.画静定基建立相当系统： 将可动绞链支座作看多
10、余约束,解除多余约束代之以约束反力 RB.得到原超静定梁的基本静定系.,2.列几何方程变形协调方程,超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的 变形协调条件,根据变形协调条件得变形几何方程:,变形几何方程为,第八章 弯曲变形,3.列物理方程变形与力的关系,查表得,将力与变形的关系代入 变形几何方程得补充方程,4.建立补充方程,第八章 弯曲变形,补充方程为,由该式解得,5.求解其它问题（反力,应力,变形等）,q,A,B,FRB,求出该梁固定端的两个支反力,第八章 弯曲变形,例7求支反力,解：1. 问题分析,2. 解静不定,水平反力忽略不计,2个多余未知力。,第八章 弯曲变形,例8悬臂梁 AB，用短梁
11、DG 加固，试分析加固效果,解：1. 静不定分析,第八章 弯曲变形,2. 加固效果分析（刚度）,减少 50%,减少39.9%,3. 加固效果分析（强度）,第八章 弯曲变形, 横截面形状的合理选择, 材料的合理选择,使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩 I 的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面。,影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料,注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同,8.7 提高弯曲刚度的措施,第八章 弯曲变形, 梁跨度的合理选取,跨度微小改变，将导致挠度显著改变,例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%,第八章 弯曲变形, 合理安排约束与加载方式,增加约束，制作成静不定梁,第八章 弯曲变形,例9已知 F = 35 kN，l = 4 m，s = 160 MPa ，d = l /500，E = 200 GPa，试选择工字钢型号。,解：,选22a,第八章 弯曲变形,
