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1、,无穷级数,第 8 章,主讲教师：,第 8 章 无穷级数,级数的概念与性质,常数项级数审敛法,幂级数,8.2 常数项级数的审敛法,1,2,3,正项级数及其审敛法,任意项级数及其审敛法,数项级数审敛法小结,若,则称,为正项级数 .,即：部分和数列,特征：,于是有：,正项级数收敛的充要条件,正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛 ,也收敛,证毕.,判断级数的敛散性是级数研究中的最基本问题，,下面介绍级数的三大审敛法：,证,即部分和数列有界，,审敛法1比较法,证,不是有界数列。,判定级数 的敛散性,因为, 从而,而级数,发散（调
2、和级数），,由比较审敛法可知原级数发散,解,讨论 级数 的敛散性，(其中 是实数),把,分四种情形讨论:,（1）,，此时,（2）,解,(3),由图可知,(4),综上可得：,仔细比较体会(1) (2)的内涵，是否可以这样理解：,级数是离散的积分，积分是连续的求和呢？,(2),例3 判定级数 的敛散性,解: 因为一般项,所以原级数也收敛,【注】,（1）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；,（2）调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。,请记住这三个级数,解,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，,那么会有什么结论呢？,定理8.4 比较法极限形式（更加方便）,其中0 l ，则级数,与,同时收敛，同
3、时发散。,例4 判定级数 的敛散性,解： 因为,而级数,故原级数发散,发散，,特别的取,有什么结论呢？,对正项级数,解,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,比较,比较审敛法的缺点:,必须找参考级数.,定理8.5 审敛法2比值法,【注】,级数中含有“阶乘”时，通常使用比值法。,例5,解,例6,解：,根据比值法可知原级数发散,判别级数,的收敛性.,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,例7,【注】判别法失效，并不意味着级数不收敛。,由数学分析知识有结论：,定理8.6 （审敛法3 根值法）,【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。,例9 判别级数 和 的敛散性,解:,【推广】,解,否,是
4、,比较法,请记住,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,反之是否成立？,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,解 答,（A） 收敛，其和为零 （B） 收敛但和不一定为零 （C） 发散 （D） 可能收敛，可能发散,1. 选择题:,的敛散情况是（ ）,（A）收敛 （B） 收敛且和为 （C） 发散 （D） 敛散性不定,(3) 设 则该级数（ ）,（A）收敛 （B）发散 （C）敛散性不定 （D）若 必收敛,（4）下列级数收敛的是（ ）,（A） （B） （C） （D）,（5）下列级数收敛的是（ ）,（A） （B） （C） （D）,（6）下列级数收敛的是（ ）,（A） （B） （C） （D）,（7）下列级数发散的是（ ）,（A） （B） （C） （D）,（8）下列级数收敛的是（ ）,（A） （B） （C） （D）,（9）下列级数收敛的是（ ）,（A） （B） （C） （D）,
