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1、,第 4 章,主讲教师：,中值定理与导数的应用,第 4 章 中值定理与导数应用,中值定理,洛必达法则,函数单调性和凹凸性,函数的极值与最值,函数图形描绘,4.2 洛必达法则,1,2,洛必达法则I,洛必达法则II,3,其他未定式,在自变量,的某个变化过程中（例如,对于一个函数的极限式,，其结果不外乎是四种情,非零常数A或不存在”之一，但是对于两个函数,和,有时不确定，例如假设A,B为常数，有,等），,形“,组成的极限式,，其结果有时确定，,（1）若,，,，则,（2）若,，,，则,；,；,（3）若,，,，则,；,（4）若,，,，则,（5）若,，,，则,；,；,上述情形(1)(3)因为结果确定,所以
2、我们称,情形(4)和(5)的结果不确定,我们称,不定式共有7种，它们是：,型，,型，,型，,型，,型，,型，,本节我们介绍的罗必达法则及其应用就是这些不定式的定值法。,为定式。,为不定式。,型，,设函数,与,满足下列条件：,（1）,（2）在点,的某个去心邻域中，,和,并且,（或,）；,（或,）,都存在，,则有,求下列极限,（1）,（2）,（3）,(4),这四个极限都是,型不定式,（1）,（2）,两次使用罗必达法则。,解,（3）,该式属于,型不定式,且符合洛必达,法则1条件,但是若直接用罗必达法则,分母的导数较繁.,作一个等价无穷小代换,那么运算就方便得多.,由此例不难看出，当,时，,【注】,求
3、极限,(4),设函数,与,满足下列条件：,（1）,（2）在,的某个空心邻域中，,和,都存在，,（3）,则有,（或,）,1）,改为自变量,的任意一个变化过程，例如,，,，,，,2）使用罗必达法则时是分子分母分别求导，不要与商的导数混淆。,时，罗必达法则仍成立。,求下列极限,（1）,（2）,（3）,（,，,0）,【注】,以上三个极限在相应的极限过程中都是“,”型不定式,（1）,（2）,，,得,（3）,相继应用罗必达法则,次，,解,提醒读者注意：当,时，对数函数,、幂函数,、指数函数,增大的“速度”是很不一样的，幂函数增大的“速度”比对数函数快得多，而指数函数增大的“速度”又比幂函数快得多，即,均为
4、无穷大，但这三个函数,利用这个结论我们可以立得下列极限,洛必达法则为求不定式的极限提供了一个非常有效的方法，但使用罗必达法则求极限时务必注意：,型和,（2） 求极限，若不是不定式，则不能使用罗必达法则。 至于其他类型的不定式必须通过等价变换化成,型或,型不定式，才能使用洛必达法则，具体转化思路如下,（1） 只有,为,型不定式时，转化思路是,（,型）,求极限（1）,（2）,这两例均为,型不定式，,通过通分把它转化成为“,”型不定式如下：,（1）,（2）,解,为,型不定式时，转化思路是,或,求极限,这是,型不定式，把它转化成为,型如下：,请记住这个极限,它将经常被引用.,对任意的自然数,都有,解,
5、【注】,推 广,为,，,，,先把极限式指数化再求极限，转化思路是,其中,为,型，归结为情形4.2。,型不定式时，,求极限,这是,型幂指函数的极限, 把极限式指数化再求极限,类似地有：,求下列极限,解,求极限,这是,型不定式，先把极限式指数化再求极限,解,求极限,是,型未定式，先把极限式指数,化再求极限,（1）,（2）类似的结论，当,时，,解,【注】,(3),存在（或是,）是,存在（或是,不存在，,这个极限是否存在。,）,的充分条件而不是必要条件，如果,不能立即断定,不存在，还需用其他方法来判断,例如,不存在，但是,洛必达法则,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,原式,3.,原式,
