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1、第三章 流体力学基本方程,本章研究： 流体机械运动的基本力学规律及其在工程中的初步应用。,为什么河道较窄的地方流速较大？,思考1,高楼顶层的水压为什么较低？,思考2,自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几米的岸边山坡？,思考3,水流速度V2是多少？,思考4,3-1 描述流体运动的方法,描述流体的运动的困难,3-1 描述流体运动的方法,描述流体的运动的困难,3-1 描述流体运动的方法,1.拉格朗日法：,一.拉格朗日法与欧拉法：,3-1 描述流体运动的方法,1.拉格朗日法：,设某质点的轨迹为： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。 (a,b,
2、c)为质点的初始位置坐标。,研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。,一.拉格朗日法与欧拉法：,上式中用粗体字母表示矢量。,3-1 描述流体运动的方法,1.拉格朗日法：,速度：,加速度：,研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。,一.拉格朗日法与欧拉法：,u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t),研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参数的分布。,2. 欧拉法：,3-1 描述流体运动的方法,2. 欧拉法：,3-1 描述流体运动的方法,3-1 描述流体运动的方法,3-1 描述流体运动的方法,上式中用粗体字母表示矢
3、量。,由速度分布求加速度：,2. 欧拉法：,3-1 描述流体运动的方法,u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t),由速度分布求加速度：,某质点t 时刻位于（x, y, z），速度为：,t+t 时刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度为：,V0和V1的关系为：,3-1 描述流体运动的方法,(泰勒展开式),加速度：,而：,注意到：,因此：,用粗体字母表示矢量，则：,3-1 描述流体运动的方法,3-1 描述流体运动的方法,加速度的投影值：,3-1 描述流体运动的方法,作业：P52-53，第19题、第21题。,1.恒定流
4、（定常流动）：,2.非恒定流（非定常流动）：,流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。,流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间而变化，这样的流动就称为非恒定流。,3-1 描述流体运动的方法,二.恒定流与非恒定流：,迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。,3-1 描述流体运动的方法,三.迹线和流线：,流线：,3-1 描述流体运动的方法,三.迹线和流线：,3-1 描述流体运动的方法,三.迹线和流线：,流线和迹线的区别：,3-1 描述流体运动的方法,三.迹线和流线：,流线微分方程：,设流线微段为：,该点的流体的速度为：,因为：,故两矢量的坐标分量对应成比例：,3-1 描述
5、流体运动的方法,1. 流管：,2. 流束：,3. 元流：,在流场中任一条封闭曲线（不是流线）上的每一点作流线，这些流线所围成的管状表面称为流管。,流管内的一束运动流体称为流束。,如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流束称为元流。,无数元流的总和称为总流。,4. 总流：,3-1 描述流体运动的方法,四.流管、流束、元流、总流：,过流断面：与流线正交的横断面。,平均流速：V = Q / A,对曲面A,（体积）流量 Q： 单位时间内通过过流断面的流体体积。,3-1 描述流体运动的方法,五.流量：,1. 均匀流与非均匀流：,2. 渐变流与急变流：,在给定时刻，流场中各流线都是平行直
6、线的流动称为均匀流；否之，则为非均匀流。,在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。,3-1 描述流体运动的方法,六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：,3-1 描述流体运动的方法,3-1 描述流体运动的方法,若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的函数，这种流动称为一元流动。,3-1 描述流体运动的方法,七.一元流动、二元流动、三元流动：,3-1 描述流体运动的方法,动,3-1 描述流体运动的方法,求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）
7、的流线方程。,例1：,已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0,解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：,流线过点A（-1，-1） C =1,3-1 描述流体运动的方法,流线方程为：,例2：已知某流场中流速分布为：u = -x， v = 2y, w = 5-z。求通过点(x,y,z) = (2,4,1)的流线方程。,解：,流线微分方程为：,由上述两式分别积分，并整理得：,3-1 描述流体运动的方法,即流线为曲面 和平面 的交线。,将 (x,y,z)=(2,4,1) ,代入可确定 c1 和c2,故通点(2,4,1)的流线方程为：,3-1 描述流体
8、运动的方法,3-2 连续性方程,1. 系统与控制体：,系统：,控制体：,包含确定不变的物质的集合。,一个空间固定体称为控制体。,一.积分形式的连续性方程：,系统的流体质量为：,质量守恒: 系统的质量在任何时刻都相等。,2. 连续性方程的推导：,我们选取 t 时刻系统的体积 和表面积 A 为控制体的体积和表面积。,3-2 连续性方程,3-2 连续性方程,因此：,对于任一物理量（如动量）：,3-2 连续性方程,单位体积的某物理量。,即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。,由于质量守恒，因此：,此方程称为积分形式的连续性方程。,3-2
9、连续性方程,定常流动：,一元流动：1V1A1=2V2A2,不可压缩流体的一元流动：V1A1=V2A2,3-2 连续性方程,二元流动，取控制体如图，长为dx, 宽为dy。设控制体中心点的速度分别为u，v，密度为。,第一项为：,3-2 连续性方程,二.微分形式的连续性方程：,考虑第二项：,左侧面流入质量：,右侧面流出质量：,x方向净流出的质量为：,3-2 连续性方程,单位时间内控制体表面的净流出量。,同理,单位时间内y方向净流出的质量为：,因此：,即：,三元流动：,3-2 连续性方程,对于定常流动（恒定流）：,当=常数时（不可压缩流体）：,3-2 连续性方程,作业：P106，第6题、第8题。,3-
10、3 流体运动的微分方程,x方向： max = F x,从理想流体中取出边长分别为dx、dy和dz的微元平行六面体。设微元体中心点的速度分量为u、v和w，其压强为p、密度为。,理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。,一. 理想流体的运动微分方程：,同理：,即：,理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。,不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为纳维-斯托克斯方程，简称为N-S方程。,3-3 流体运动的微分方程,N-S方程：,在N-S方程中，若 = 0（理想流体），则N-S方程变为欧拉运动微分方程。,3-3 流体运动的微分方程,3-5 伯努利方程,一.理想流体沿流线s的伯努利方程：,加速度：,
11、如果流动恒定，则：,考查理想流体沿流线s的运动方程：,1. 方程的推导：,3-5 伯努利方程,如果质量力仅为重力：,如果为常数：,积分得：,沿流线积分,或：,位置水头 (Z)、压强水头( p / ) 与流速水头 (u/2g) 之和称为总水头（H）。,这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利方程。,3-5 伯努利方程,物理意义和几何意义见第二章,物理意义单位重量的流体所具有的动能 几何意义流速水头,2.方程的物理意义和几何意义：,恒定元流伯努利方程的物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机械能守恒。,恒定元流伯努利方程的几何意义： 理想、不可压缩流体在
12、重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。,由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。,3-5 伯努利方程,二.压强沿流线法向的变化：,3-5 伯努利方程,渐变流和急变流的概念（复习） ： 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。,这时沿流线的法向有：,在渐变流断面上有：,3-5 伯努利方程,理想流体沿流线 的法向有：,理想流体沿流线(或元流) 的伯努利方程：,微分形式的连续性方程：,积分形式的连续性方程：,理想流体的运动微分方程：,三.理想流体总流的伯努利方程：,研究总流在断面1-1和2-2之间的部份。取其中某一元流，速
13、度和断面积分别为u1、dA1和u2、dA2。,u1dA1 = u2dA2 或 dQ1=dQ2,3-5 伯努利方程,设两断面1-1和2-2处在渐变流中,故：,3-5 伯努利方程,由于在渐变流断面上有：,令：,式中： 称为动能修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为1.03-1.07，近似取为1。,理想流体恒定总流的伯努利方程中： 各项的物理意义和几何意义分别与元流的伯努利方程中的相应项的物理意义和几何意义相同。,3-5 伯努利方程,四.粘性总流的伯努利方程：,如图：1-1断面在上游， 2-2断面在下游。由于有粘性，机械能沿流程减少。,实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会消耗掉一部分
14、机械能。设单位重量流体从总流的1-1断面运移至2-2断面的机械能损失为hw1-2。则：,3-5 伯努利方程,水力坡度J：单位重量流体沿总流单位长度上的机械能损失。,或：,3-5 伯努利方程,3-6 伯努利方程的应用,1. 连续流体（液、气）。 2. 流体均匀不可压缩，=const.。 3. 恒定流。 4. 质量力仅为重力。 5. 所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流断面（两断面间可以是急变流）。,单位重量流体从1-1断面流至0-0断面：,单位重量流体从2-2断面流至0-0断面：,二.有汇流（或分流）的伯努利方程：,3-6 伯努利方程的应用,前提：过流断面流速均匀,水泵由进水管1，出水管2，以
15、及叶轮，涡壳等组成。 水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之间的通道进入涡壳，由于叶轮的高速旋转，水流获得能量，出口2-2断面的压力增高。p2 p1 。,1. 有能量输入：,三.有能量输入或输出的伯努利方程：,3-6 伯努利方程的应用,式中Hm为单位重量液体流经水泵所获得的机械能，也称为水泵的扬程。,2. 有能量输出：,这时的伯努利方程为：,3-6 伯努利方程的应用,式中Hm为单位重量液体传递给水轮机的机械能，也称为水轮机的工作水头。,作业：P107，第12题、第13题。,四.总流伯努利方程的应用举例：,1.定断面：应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或渐变流断面上，并使伯努利方程包含所要求解的未
16、知数。 2.过流断面上计算点的取定：原则上计算点可在均匀流或渐变流断面上任取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。 3.定基准面：两过流断面必须选取同一基准面，常使Z0。 4. 方程中的动压强p1和p2既可为绝对压强，也可为相对压强。但p1和p2必须同为绝对压强或同为相对压强。 5. 分析和考虑两过流断面间的能量损失hw1-2。,解题时应注意以下几点：,3-6 伯努利方程的应用,例1. 求小孔出流的流量：,如图，对断面0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有：,上式中：A为小孔的面积，A为1-1断面的面积。,解：,3-6 伯努利方程的应用,例2. 用文丘里流量计测定管道中的流量：,如图，在1-1及2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：
