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1、空间几何平行垂直证明专题训练v 知识点讲解一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性:m/a,m/ba/b平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：b如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。5）利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 6）利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。7）利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面
2、内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。a3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（二）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。P2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3) 利用定义：两个平面没有公共点
3、二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90，则两直线互相垂直。3) 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 b4) 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。b5) 利用常用结论：c 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。b b 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
4、（二）直线与平面垂直的证明1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。3) 利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。5) 利用常用结论： 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。（三）平面与平面垂直的证明1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2)
5、看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3) 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。题型一：平行（线线平行、线面平行、面面平行）例1.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，求证： EF平面ABC； (两种方法证明)方法一：方法二： 例2.如图，正三棱柱中，是的中点， 求证：平面（两种方法证明）方法一：方法二： 3如图，在底面为平行四边行的四棱锥中，点是的中点.求证：平面；（两种方法证明）方法一：方法二：4.如图，分别为，的中点，是的中点，求证：平面；（两种方法证明）方法一：方法二： 课后练习1
6、.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证：AC/平面EFG.2.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证：EF /平面BGH.3.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为PC的中点，O为BD的中点.求证：OE /平面ADP4.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA/平面BDE5.正方体中，分别是中点.求证：平面6.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形， 为的中点，为的中点证明：直线平面；7.在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，E,F分别
7、是AB，PD的中点. 求证：平面PBAPCBAPDCBAPADCBAPEAPFAP9已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点求证： C1O/平面AB1D1； 题型二：垂直（线线垂直、线面垂直、面面垂直）1.如图，在直三棱柱中，点在上，.求证：平面平面.2.如图，正三棱柱中，D是BC的中点，求证：直线； 3.如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上. 求证：平面； 4.如图，直三棱柱中，AB=1，ABC=.求证：5. 直三棱柱中，分别是的中点，求证：平面； 6.如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90。 求证：ABPC 课后练习1.如图，ABCDA1B1C1D
8、1是正四棱柱.求证：BD平面ACC1A1;2.如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为的中点，与相交于点，连结，（1）求证：平面；（2）求证：平面。4.如图所示，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面 （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积。5.如图，正四棱柱的侧棱长为，底面边长为，是棱的中点。（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.6.如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥的体积.ABCDA1B1C1D1FM第 12 页 共 12 页
