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1、 解析几何小练习（以离心率为主）1若直线通过点，则（ ）ABCD【答案】D【解析】方法1：由题意知直线与圆有交点，则.方法2：设向量，由题意知由可得2如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线【答案】B【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积
2、也为无穷大，从而排除C与D，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！3如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）（B）（C）（D） 【答案】D【解析】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。4已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为()（） （） （） （）【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为 设，过点
3、向准线作垂线，则，又由得，即，解得的面积为 故选B【点评】此题重点考察抛物线的第二定义，抛物线中与焦点，准线有关三角形问题；【点评】由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；5椭圆的焦点为,两条准线与x轴的交点分别为M、N，若，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 可得 所以 即 可见e的最小值为.又 6直线l过双曲线=1的右焦点,斜率k=2,若l与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上,则双曲线的离心率e的取值范围是( )A.e B.1e C.1e【答案】D【解析】如图,2,即b24a2,c2-a24a2.e.7：
4、已知双曲线的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），若，则该双曲线离心率e的值为（ ）A B C D【答案】：B【解析】：考点：双曲线的简单性质分析：通过，判断三角形ABF的关系，利用三角形的关系，得到a，b，c的关系，结合双曲线a，b，c关系求出双曲线的离心率即可解：因为双曲线的左顶点、右焦点分别为A、F，点B（0，b），所以ABBF，三角形ABF是直角三角形，所以|AB|2+|BF|2=|AF|2即：c2+b2+c2=（a+c）2b2=c2-a23c2-a2=（a+c）2c2-a2-ac=0，e2-e-1=0，解得：e=e=（舍去）故答案为：B8设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心
5、率，P为两曲线的一个公共点，且满足的值为A2B C4 D【答案】A9已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线为，离心率，则双曲线方程为（A）=1(B) (C)(D)【答案】C【解析】， 所以。10椭圆+=1(ab0)的离心率e=,左焦点为F,A、B、C为其三个顶点,直线CF与AB交于D,则tanBDC的值等于( )A.3 B.-3 C. D.-【答案】A【解析】e=,a=2c,b=c.直线AB的方程为+=1,kAB=,同理,kFC=-.tanBDC=3.11椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )A. B.C. D.以上都不正确【答案】B【解析】如图, =cos30
6、=.12已知椭圆，双曲线和抛物线的离心率分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：椭圆的离心率；双曲线的离心率；抛物线的离心率；。考点：圆锥曲线的离心率。点评：椭圆和双曲线的离心率都是，抛物线的离心率是定值1.椭圆中；双曲线中。13双曲线的离心率是2，则的最小值为 （ ）A 、 B、 C、2 D、1【答案】A【解析】双曲线的离心率为2，所以有，所以，所以，故选A14若双曲线的离心率为e，过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的两个交点分别在第三、四象限，则离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A.【解析】如图所示，交点在第三、四象限，则满足，即，因此选A.15如图，
7、在等腰梯形SBCD中，ABCD,且AB=2AD，设,以A,B为焦点且过点D的双曲线离心率为，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为，则（ ）A.随着角的增大，增大，为定值 B. 随着角的增大，减小，为定值C. 随着角的增大，增大，也增大D随着角的增大，减小，也减小【答案】B【解析】该试题考查的知识点主要有：椭圆、双曲线及其离心率的定义，平面几何和三角函数的简单知识，函数的单调性.思路分析：首先以角为参变量，根据椭圆和双曲线的离心率定义，结合平面几何的简单知识，把和都表示为的函数.其次，根据有关函数单调性的知识（特别是复合函数的单调性知识）判别函数的单调性.最后，通过计算，观察是否是常数函数，以
8、确定是否为定值,如果不为常数函数，还要继续考查的单调性.具体解答过程：由题可知：双曲线离心率与椭圆离心率设则，故，当时，增大，减小，导致减小. 故选B.试题点评：从以上解题过程可以看出，该题的综合性是比较强的，要完整地做出这道题，需要考生把相关的知识点有机地结合起来，并进行适当的运算.该题属于中等难度的题.16曲线与曲线有（A）相同的焦距 （B）相同的离心率 （C）相同的焦点 （D）相同的准线【答案】A【解析】：由知这是焦点在轴上的椭圆，由得，即这是焦点在轴上的双曲线，故排除B、C、D，选择A。17已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 。【答案】【
9、解析】解法1：因为在中，由正弦定理得，则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得，则，解得，由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率。解法2 由解析1知由双曲线的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1。18 设F1，F2是椭圆C：的两个焦点，若在C上存在一点P,使PF1PF2，且PF1F2=30，则C的离心率为_.【答案】【解析】试题分析：因为PF1PF2，且PF1F2=30，所以PF1=，PF2=，又PF1+PF2=2a，所以2a=，=.考点：椭圆方程和性质. 19过抛物线焦点的弦，过两点分别作其准线的垂线，垂足分别为， 倾斜角为，若，则；， 其中结论正确
10、的序号为 【答案】【解析】试题分析：抛物线焦点，直线AB斜率为，则直线AB方程为，代入抛物线方程并整理得，有韦达定理可得，所以，由题意可知异号，所以，故正确；由抛物线的定义知,整理可得，故正确；由抛物线的定义知，故正确；由可知，故正确；由抛物线定义知,所以,设抛物线准线与x轴交点为E，则平行可得。所以，即,所以,所以，故正确。考点：抛物线定义，及直线与抛物线的位置关系20已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则椭圆的离心率为 .【答案】【解析】试题分析：依题意，抛物线的焦点，也是椭圆的焦点.所以.点是两曲线的交点，且轴，则点横坐标为，代入抛物线方程得或，将其代入椭圆方程中得，又
11、.所以，而椭圆的离心率.所以，得.又因为椭圆离心率范围为，所以，即.考点：椭圆与抛物线的几何性质21抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：由抛物线的定义可得，又，当时，；当时，当且仅当即时取等号，于是，综上所述的取值范围是.考点：抛物线的定义、最值问题，基本不等式.22P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为 【答案】【解析】试题分析：设点到准线的距离为，则，由抛物线定义，故只需最小，其最小值为M,F两点之间的距离为，所以的最小值为.考点：1、抛物线定义和标准方程；2、平面内两点之间的距离.2
12、3已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则 【答案】.【解析】试题分析:由可得.让P取在短轴的顶点上则.又因为=.本题采用特值法使得解题简单.由于点是动点所以不用特值法很难解.这也是数学选择天空题中的常用的一种有效的方法.考点：1.椭圆的离心率.2.三角函数的运算.3.特值法的使用.24已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】试题分析：，而，在中，即.考点：1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.25已知双曲线,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若则
13、+的值为_.【答案】【解析】试题分析：由条件知：，而，.考点：1.焦点三角形问题；2.双曲线的定义.26已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为_ 【答案】【解析】试题分析：要求离心率的取值范围，要求我们能找到一个关于离心率或的不等关系，我们从唯一的已知等式入手，在中有，因此有，是椭圆上的点到焦点的距离，于是想到焦半径公式，设，则，从而有.根据题意，因此不等关系就是，即，解得，又椭圆中，故.考点：正弦定理，椭圆的离心率，焦半径公式.27已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【
