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1、第九章 刚体的平面运动,Maple理论力学,9.1 平面运动的运动方程,在运动过程中，如果刚体上的任意一点与某固定平面始终保持距离不变，则称刚体作平面运动。,Maple理论力学,刚体的平面运动完全可以用平面图形 的运动代表。,Maple理论力学,求解平面运动的解析法：,为描述图形上一点 的运动，建立坐标系 与图形固结,上式即为点 的运动方程。,为求点 的速度及加速度，只需将上式对时间求导。以上即求解平面运动的解析法。,Maple理论力学,9.2 平面运动的速度分析,9.2.1平面运动分解为平移及转动,选平面图形上某一点 为基点，过基点 作平移运动坐标系 。则图形相对平移动系 的运动为绕基点 的
2、定轴转动，而图形的牵连运动为随基点 的平移；于是平面图形的运动就分解为两种简单运动平移及绕定轴转动。,Maple理论力学,1、图形的平移部分与基点的选择有关；,2、图形的转动部分与基点的选择无关。,选图形上不同的点为基点：,结论：图形绕基点转动的角速度 ，角加速度 与基点选择无关。分别称为平面图形的角速度与角加速度。,Maple理论力学,9.2.2 速度分析的三种方法,1基点法,设已知图形上点 的速度 ，图形角速度为 ；则可 选为基点建立平移动系将图形运动分解，根据点的复合运动理论，图形上任一点 的速度为,由于动系作平移，故有,式中 为点 绕点 作圆周运动的速度，其方向垂直于 大小 。,Map
3、le理论力学,2速度瞬心法,如果在某一瞬时图形上的一点 速度为零，则此点称为图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。,1）若图形的速度瞬心在C点，则图形上各点的速度分布情况如上图所示。,2）此瞬时，图形可看作是在绕瞬心C作定轴转动。,Maple理论力学,速度瞬心的确定规则：,当图形上某点的瞬时速度为零时，此点即为该瞬时的瞬心。,圆轮在静止轨道上作纯滚动，接触点即为瞬心。,Maple理论力学,（2）当已知图形上两点的速度方向时，作两个方向上垂线， 其交点即为瞬心。,如果两速度方向平行，则垂线交点在无穷远；这时图形上各点速度相同，图形作瞬时平移。,如果两垂线重合，则两速度矢量端点连线与垂线的交点
4、为瞬心。,Maple理论力学,（3）当已知一点的速度 及角速度 时，可将 沿 方向转 ，再截取 的距离即为瞬心 。,当 时，图形作瞬时平移，不存在瞬时速度中心。,Maple理论力学,3.速度投影法,考虑图形上任意两点 、 ，以 为基点则有,将上式两侧向 连线投影，注意到 与连线 垂直，即得,即：图形上任意两点的速度矢量在两点连线上的投影相等。这就是速度投影定理。此定理说明图形上两点在连线上没有相对速度，这反映了刚体上两点距离不变的物理本质。,Maple理论力学,9.3 平面运动的加速度分析,选图形上 为基点，作平移坐标系，则根据加速度合成定理，图形上任一点 的加速度为,式中 ， ， 为相对切向
5、加速度， 为相对法向加速度， 。,Maple理论力学,9.4 解决运动学问题的分析法,对于由 个刚体组成的刚体系统，若存在 个几何约束，则其自由度也可表示为,（空间运动）,（平面运动）,其中约束数 可根据约束方程数确定，也可应用静力学方法将系统拆开后根据各个刚体的独立未知约束力数确定。,在计算点的速度和加速度时，可以使用将广义坐标对时间求导的分析方法,更有利于利用计算机辅助分析解决机构设计问题。,Maple理论力学,分析法的一般解题步骤如下： （1）确定质点系的自由度，选择广义坐标和必要的多余坐标，用以描述已知的和待定的质点或构件的运动规律。 （2）写出联系广义坐标和多余坐标的约束方程。 （3
6、）将标量形式的约束方程对时间求导，求得坐标的一阶和二阶导数之间的关系式，解出待定的运动学参数。,Maple理论力学,广义坐标 对时间的导数称为广义速度。实际计算时，可直接将约束方程,对 求导，化作微分形式的约束方程：,从以上 个线性代数方程消去 个多余坐标的导数，即可确定 个广义速度。,Maple理论力学,广义速度确定以后，质点系中各质点的速率可通过,对时间 求导，用广义速度表示为,将上式再次对 求导，即导出用广义速度的导数 表示的质点加速度。,Maple理论力学,9.5 例题编程,例9-1 图9-10所示的平面机构中，曲柄 长 ，以角速度 转动。连杆 带动摇杆 ，并拖动轮 沿水平面滚动。已知
7、 ，图示位置时 ， ， 三点恰在一水平线上，且 。求此瞬时点 的速度。,Maple理论力学,解：建模 连杆 上 点运动分析：连杆 ：平面运动；动点 ：以点 为圆心， 为半径的圆周运动；基点 ：以点 为圆心， 为半径的圆周运动。,连杆 上 点运动分析：连杆 ：平面运动；动点 ：直线运动；基点 ：以点 为圆心， 为半径的圆周运动。,Maple理论力学,速度分析 方向： 大小：？ ,速度分析 方向： 大小：？ ,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清零。 OA:=r: CB:=a: CD:=3*CB: #已知条件。 vA:=omega*OA: #点 的速度大小。, eq1:=v
8、B*cos(phi)=vA: #连杆 上的速度投影。, eq2:=vD/CD=vB/CB: #点 和点 的速度关系。, eq3:=vE*cos(phi)=vD: #连杆 上的速度投影。, solve(eq1,eq2,eq3,vB,vD,vE);#求解方程组。, vE:=3*omega*r/cos(phi)2: #点 的速度大小。, omega:=2: r:=100*10(-3): phi:=Pi/6: #已知条件。 vE:=evalf(vE,4); #点 的速度大小的数值。,Maple理论力学,例9-2 车厢的轮子沿直线轨道滚动而无滑动，如图9-11所示。已知车轮中心 的速度为 。如半径 和
9、都是已知的，求轮上 ， ， ， 各点的速度，其中 ， ， 三点在同一水平线上， ， ， ，三点在同一铅垂线上。,Maple理论力学,解：建模 车轮 上各点运动分析：车轮 ：平面运动；速度瞬心：因为车轮只滚动无滑动，故车轮与轨道的接触点 就是速度瞬心。,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清零。 OA1:=R: OA2:=R: OA3:=R: OA4:=R: OC:=r: #已知条件。 omega:=vO/OC: #车轮 的角速度。, CA1:=OA1-OC: #已知条件。 CA2:=sqrt(OA22+OC2): #已知条件。 CA3:=OA3+OC: #已知条件。 CA
10、4:=sqrt(OA42+OC2): #已知条件。 v1:=CA1*omega; #点 的速度。,Maple理论力学, v2:=CA2*omega; #点 的速度。, v3:=CA3*omega; #点 的速度。, v4:=CA4*omega; #点 的速度。,Maple理论力学,例9-3 椭圆规尺的 端以速度 沿 轴的负向运动，如图9-12所示， ，求 端的速度以及尺 的角速度。,Maple理论力学,解法一: 建模 采用基点法。尺 上点 运动分析：尺 ：平面运动；点 ：直线运动；基点 ：直线运动。,速度分析 方向： 大小： ？ ？,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清
11、零。 AB:=l: #已知条件。 vB:=vA*cot(phi); #点 的速度。, vBA:=vA/sin(phi): #点 相对点 的速度。, omega:=vBA/AB; #尺 的角速度。,Maple理论力学,解法二: 建模 采用瞬心法。尺 ：平面运动；速度瞬心 ：分别作点 和点 两点速度的垂线，两条直线的交点就是图形 的速度瞬心。,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清零。 AB:=l: #已知条件。 AC:=AB*sin(phi): #几何关系。 BC:=AB*cos(phi): #几何关系。 DC:=l/2: #几何关系。 omega:=vA/AC; #尺 的
12、角速度。,Maple理论力学, vB:=BC*omega; #点 的速度。, vD:=DC*omega; #尺 中点 的速度。,Maple理论力学,例9-4 矿石轧碎机的活动夹板 长 ，由曲柄 借连杆组带动，使它绕轴 摆动，如图9-13所示。曲柄 长 ，角速度为 。连杆组由杆 ， 和 组成，杆 和 各长 ，求当机构在图示位置时，夹板 的角速度。,Maple理论力学,解：建模 采用瞬心法。杆 ：平面运动；速度瞬心 。 杆 ：平面运动；速度瞬心 。,Maple理论力学, Maple程序 restart: #清零。 vE:=Omega*OE: #点 的速度。, omegaGE:=vE/EC1: #杆
13、 的角速度。, vG:=omegaGE*GC1: #点 的速度。, omegaBG:=vG/GC2: #杆 的角速度。, vB:=omegaBG*BC2: #点 的速度。, omegaAB:=vB/AB: #杆 的角速度。,Maple理论力学, EC1:=OC1-OE: #几何关系。 OC1:=OG*cot(phi1): #几何关系。 OG:=a+GD*sin(phi1): #几何关系。 GC1:=OG/sin(phi1): #几何关系。 GC2:=BG/cos(phi2): #几何关系。 BC2:=GC2/2: #几何关系。 Omega:=10: phi1:=Pi/12: phi2:=Pi/
14、6: #已知条件。 OE:=100*10(-3): a:=800*10(-3): #已知条件。 BG:=GD: AB:=600*10(-3): GD:=500*10(-3):#已知条件。 omegaAB:=evalf(omegaAB,4); #杆 的角速度的数值。,Maple理论力学,例9-5 如图9-14所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆 ，以匀速度 绕 转动。大齿轮II固定，行星轮I半径为 ，在轮II上只滚不滑。设 和 是轮缘上的两点，点 在 的延长线上，而点 则在垂直于 的半径上。求点 和 的加速度。,Maple理论力学,加速度分析 方向：？ 大小：？ ,解：建模 行星轮I上点 的运动分析：行星轮I：平面运动；点 ：曲线运动；基点 ：以点 为圆心， 为半径的圆周运动。,Maple理论力学,行星轮I上点 的运动分析：行星轮I：平面运动；点 曲线运动；基点 ：以点 为圆心，
