《Maple理论力学 I 第2版 教学课件 ppt 作者 李银山 第9章刚体的平面运动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Maple理论力学 I 第2版 教学课件 ppt 作者 李银山 第9章刚体的平面运动（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9章 刚体的平面运动,除了平行移动和定轴转动外，另一种常见的刚体运动是平面运动。研究刚体的平面运动有两方面的意义。 一方面，在工程中有许多机构的运动是平面运动或者可以简化成平面运动，因此具有直接应用的意义； 另一方面，掌握了研究平面运动的理论和方法后，就可以处理更复杂的运动， 因此它是研究复杂运动的基础。对于刚体的较复杂的运动形式，可利用复合运动的概念将其分解为刚体的基本运动进行讨论。刚体的平面运动，可看作是刚体的平行移动和定轴转动的合成。本章用分解和合成的思想，建立平面运动刚体上各点速度之间、加速度之间的关系。,9.1 刚体平面运动的分解 9.1.1刚体平面运动的运动方程 刚体运动时，如体
2、内任意点与定参考系中某个固定平面始终保持等距离，则此运动称为刚体的平面运动。,图9-1 刚体平面运动实例,过刚体内任意点 作平行于固定平面 的平面 ，它与刚体相交截出一刚性截面，当刚体内任意点始终保持平面等 距离时，此截面必保持在平面 内运动。过 点作垂直于平面 的直线 ，则此直线上所有点的运动均与点 的运动相同（见图9-2a）。因此刚体的平面运动可用此刚性截面在自身平面内的运动完全表达。,(a) 刚体平面运动定义 (b)动点和基点 图9-2 刚体平面运动,(9-1a),(9-1b),这就是刚体平面运动的运动方程,图9-3刚体平面运动的固定和固连坐标系 图9-4 刚体平面运动的平行移动参考系,
3、和,是时间,的单值连续函数：,9.1.2平面运动分解为平行移动及定轴转动,为了研究平面运动，除以上固定坐标架 和固连坐标架 以外，我们再引入一个中间坐标架 ，它的原点就是固连坐标架的原点，即基点 ，它的基矢量取得与固定坐标架的基矢量 一致，称之为平行移动坐标架。,分别求得平行移动坐标架（亦即基点 ）的速度和刚性截面相对平行移动坐标系定轴转动的角速度：,（9-2a）,，,（9-2b）,，,分别求得平行移动坐标架（亦即基点 ）的加速度和刚性截面相对平行移动坐标系定轴转动的角加速度：,，,（9-3a）,，,，,（9-3b）,图形的平行移动部分与基点选择有关； 图形的转动部分与基点选择无关。,图9-5
4、选择不同基点的刚体平面运动,9.1.3平面运动刚体上动点和基点的关系,(9-4),(a),(9-5),平面运动刚体上动点和基点的速度关系,平面运动刚体上动点和基点的加速度关系,(b),(9-6),图9-6平面运动刚体上动点和基点的关系 图9-7 速度合成的基点法,9.2 刚性截面内点的速度,9.2.1基点法,定理：平面运动刚体上动点的速度等于基点的速度与动点绕基点圆周运动速度的矢量和。,(9-7a),(9-7b),1.矢量法证明,证明：,#由式 (9-5)知。,#动点,和基点,速度的定义。,#提取求导符号。,#由式 (9-4)知。,#由式 (7-11)知。,2.在固连坐标系中证明,刚体,上任一
5、点,，在固连坐标系,中的矢径,(9-9a),刚体,转动的角速度,(9-9b),其中坐标,是常量，即,，,。,证明：,#由式 (9-5)知。,#速度的定义。,#式 (9-9)对时间求导。,#由式 (7-11)知，,，,。,#提取角速度,。,#再利用式 (9-9)。,3.在平行移动坐标系中证明,刚体,上任一点,，在平行移动坐标系,中的矢径,(9-10a),刚体,转动的角速度,(9-10b),其中基矢量,是常矢量，即,，,，,。,证明：,#由式 (9-5)知。,#速度的定义。,#式 (9-10)对时间求导。,#,，,。,#整理。,#再利用式 (9-10)。,（9-11a）,，,，,，,（9-11b）
6、,其中,9.2.3.速度投影法,速度投影定理： 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等；平面图形角速度的代数值等于这两点的速度在其连线垂直正方向上的投影之差与这两点之间的距离的比值。即,(9-12a),(9-12b),其中两点连线的垂直方向规定为：将平面图形的角速度 按逆时针分析，此时 的指向就是过 点的 、 两点的连线的垂直正方向。采用这种规定以后，若由式(9-12b)求得 为正值时， 即为逆时针转向。,证明：,(a),(b),于是得,(d),(c),因为 和 是刚体上两点，它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在 方向上的分量必须相同，否则，线段 不是伸长，便要缩短。因此，
7、这定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体作其它任意运动。,9.2.3速度瞬心法,或,(e),得到,点,称为刚性截面的瞬时速度中心，简称速度瞬心。,（9-13）,这个定理也可以由下面的理由来说明：因为 和 是刚体上两点，它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在 方向上的分量必须相同，否则，线段 不是伸长，便要缩短。因此，这定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体作其它任意运动。这种求速度的方法称为速度投影法,过速度瞬心 作与刚性截面垂直的轴 ，由于轴上每一点的速度均等于零，因此 轴称为刚体的转动瞬轴。式（9-13）与刚体绕 轴作定轴转动时刚体内点的速度分布公式有完全相同的形式。但
8、速度瞬心 并不是固定点，因为速度瞬心只在这一瞬时速度为零，而不同的瞬时有不同的速度瞬心位置。,(a) (b) (c) (d) 图9-8刚性截面的速度瞬心,（1） 两点的速度 和 方向已知，但互不平行，通过 两点作与速度方向垂直的直线，其交点就是该瞬时的速度瞬心 （图9-8a）。,（2） 和 的大小已知，互相平行且垂直于 的连线，方向相同（图9-8b）或相反（图9-8c），则将两速度矢量的端点连接起来，与 连线或其延长线的交点就是该瞬时的速度瞬心 。,（3）作为情况（2）的一种特例，如 与 的方向相同且大小相等，或 与 方向相同但不与 的连线垂直（图9-8d），瞬心 均在无限远处。这时刚体作瞬时
9、平行移动，刚体截面上各点均有相同的速度。,在某种特殊情况下，速度瞬心也可根据刚体的运动特点直接确定。例如在固定面上作纯滚动的刚体，其瞬心就是刚体与固定面的接触点。因为刚体作纯滚动时，接触点处的速度必为零（图9-9）。 刚性截面在运动过程中，速度瞬心相对定参考系或相对截面的位置都在不断改变。随着时间的变化，速度瞬心在定参考系中留下的轨迹称为定瞬心迹线，速度瞬心在截面内留下的轨迹称为动瞬心迹线。这是两条分别固定于参考系和刚性截面的平面曲线，它们接触于一点，接触点就是该瞬时的速度瞬心，其位置沿两迹线移动。由于截面在速度瞬心处的速度为零，因此刚体的平面运动过程可以用动瞬心迹线在定瞬心迹线上的纯滚动形象
10、地加以说明。,图9-9纯滚动的速度瞬心 图9-10瞬时转轴迹面,在刚体平面运动过程中，转动瞬轴在定参考系中的轨迹称为定转动瞬轴迹面，在刚体内的轨迹称为动转动瞬轴迹面。这是两个以定瞬心迹线和动瞬心迹线为准线的柱面，二者在角速度矢量处相接触（图9-10）。由于刚体在转动瞬轴上各点的速度均为零，刚体的平面运动可形象地理解为动转动瞬轴迹面在定转动瞬轴迹面上作纯滚动,9.3刚性截面内点的加速度,定理：平面运动刚体上动点的加速度，等于基点的加速度与动点绕基点作圆周运动的切向和法向加速度的矢量和。,(9-14a),，,(9-14b),其中,1.矢量法证明,点的加速度,，显然它应当由下列三部分组成：,运动的加
11、速度,（,即基点,的加速度）、,与法向加速度（其大小等于,）。,随基点,绕基点 转动的切向加速度（其大小等于,）,证明：,#将式 (9-7)对时间,求导。,#展开。,#由式 (7-11)知。,#加速度与角加速度定义。,2.在固连坐标系中证明,(9-15a),(9-15b),证明：,#由式 (9-6)知。,#加速度的定义。,#展开。,#由式 (9-15)知。,#由式 (7-11)知。,#再利用式 (9-9)。,#三重矢积的简化。,3.在平行移动坐标系中证明,(9-16a),(9-16b),证明：,#由式 (9-6)知。,#加速度的定义。,#展开。,#由式 (9-16)知。,#,，,。,#整理。,
12、#再利用式 (9-10)。,#三重矢积的简化。,（9-17a）,，,，,（9-17b）,加速度合成公式（9-14）也可写成矢量的坐标矩阵形式：,其中,9.4点在平面运动参考系中运动的合成,9.4.1复合运动中运动方程之间的关系,(9-18),相对运动方程：,(9-19),绝对运动方程：,(9-20),(9-21a),(9-21b),(a) (b) 图9-12 牵连运动为平面运动参考系,9.4.2点在平面运动参考系中的速度合成,1.矢量法证明,（9-22）,绝对速度,牵连速度,（9-23）,相对速度,（9-24）,2 几何法证明,（a）,（b）,绝对位移为,式中，,（c）,（d1）,（d2）,（d3）,式（c）除以,取极限，就可以得到式（8-16）。,(a)几何解释 (b)位移合成 图 9-13几何法证明,9.4.3点在平面运动参考系中的加速度合成,（9-25）,（9-26a）,牵连加速度,（9-26b）,相对加速度,（9-27）,科里奥利加速度,（9-28）,将式（9-25），（9-26），（9-27）和（9-28)代入式（8-3b），导出（8-24）。,9.5例题编程,图 9-14,图 9-15,速度分析,a) b) c) 图 9-16,图 9-17,图 9-18,图 9-19,
