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1、第二章 设施选址10.一家银行准备在某县的农村地区投放一批ATM自动取款机，以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图2.13所示。为了能确保任一村的人都可以在20分钟之内到达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们的位置又在哪里?图2.13 村落座落情况和相对距离要点： 1. 明确N，M，A(j)，B(i)含义；2. A(j)分析正确后，B(i)可参照A(j)直接写出，无需再看网络图；3. 熟悉最少点覆盖启发式算法的步骤，考虑是否有容量约束。 解：【集合覆盖模型】区域中需求点集合N=1,2,3,4,5,6,7；ATM取款机设施候选点集合M=1,2,3,4,5,6,7；
2、由网络图确定候选设施点j可覆盖的需求点集合A(j)和可覆盖需求点i的设施节点的集合B(i)，见表2.10.1。2.10.1 候选点服务范围村落号A(j)B(i)11,2,31,2,321,2,4,51,2,4,531,3,41,3,442,3,4,6,72,3,4,6,752,5,62,5,664,5,64,5,674,74,7因为A(4)=2,3,4,6,7，| A(4)|=5为最大，故首先j=4。因无容量约束，指派2,3,4,6,7归村落4服务。此时N=1,5，M=1,2,3,5,6,7；则更新候选点服务范围，见表2.10.2。2.10.2 更新后的候选点服务范围村落号A(j)B(i)11
3、1,2,321,5314552,5,6657因为A(2)=1,5=N，恰好满足条件。则j=2。综上所述，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4的位置，2号为1,5村落服务，4号为 2,3,4,6,7村落服务。11. 个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办公室。在经过一定的精简之后，该公司有5个大的合作伙伴。在一个以km为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7 ，2)，(11，11)， (14，7)。它们的服务需求量的权重分别为：wl=3，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，主要的日常费用是他们员工完成任务过程中的运
4、输费用。因此，用城市距离进行考虑，要求新的办公室到各个合作伙伴之间运输的运输费用最小。1）请确定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2）如果由于该地区的人口稀少，城市还没有达到一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间的关系。 要点：1. 补充交叉中值模型知识点 关键句：将n点需求的选址问题转化为i=1nwi点需求的选址问题。 2.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离； 3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C编程/matlab编程迭代+迭代终止条件解：（1）设新办公室的地址的坐标为(x,y),给题目已知的5个点编号15
5、。由于笛卡尔距离di=|x-xi|+|y-yi|。则目标函数为时总运输距离H最短。H=i=15widi=i=15wix-xi +i=15wi|y-yi|xiwiwi yiwiwi 43343342511257272271141111411141127112wi=12为偶数，即x,y均在第六个、第七个点之间。可得x=7，y7,11。H=81。（2）设初始点为（x0， y0）有题意得，阿基米德距离为di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)2, 目标函数H(运输总费用)=i=15widi,利用不动点算法，取一个初始的迭代点（x0(0),y0(0)）=(8,7),此时H0=62.51令x0(1)=
6、i=15wixidii=15xidi, y0(1)=i=15wiyidii=15yidi,di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2H1=i=15widi(1)=62.14由EXCEL迭代得，结果如图费用结果保留四位小数得最优解为x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为H=62.1020（3）比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是直角距离，因此用欧基米德距离更为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。12.一台机器工具小制造商要迁址，并确定了两个地区以供选择。A地的年固定成本为800000元，可变成本为140
7、00元/台；B地的年固定成本为920000元，可变成本为13000元/台。产品最后售价为17000元/台。（1） 当产量为多少时，两地的总成本相等？（2） 当产量处于什么范围时，A地优于B地？当产量处于什么范围时，B地优于A地？解：答：设x为之制造商的年产量 A地，总成本C(A)=800000+14000x B地，总成本C(B)=920000+13000x1)若两地成本相等，则C(A)=C(B)解得：x=120 2）若A地优于B地，则C(A)C(B),因此得0x120时，B地优于A地。13利用表2.8所示的因素评分，以最大综合得分为基础，建模分析应选择地点A、B、C中的哪一个? 表2.8 因素
8、评分表解：权重矩阵设为W，则WT=0,15 0.20 0.18 0.27 0.10 0.10三个位置的因素评分作为3行构成因素矩阵S。S=80 72 88 94 98 9670 76 90 86 90 8560 92 90 80 82 75可得综合加权矩阵E=S*W=87.0282.6280.90。可知E(A) E(B) E(C)。即选择A点。14.一个玩具制造商在全国的五个地区生产玩具，原材料将从一个新的中心仓库运出，而此仓库的地点还有待确定。运至各地的原材料数量相同，已建立一个坐标城，各地的坐标位置如表2.9所示。请确定中心仓库的坐标位置。表2.9 各地的坐标位置解：设仓库的坐标为（x0，
9、y0)，五个生产地为(xi,yi),仓库到各生产地的距离为di,因运至各地的原材料数量相同，故可设wi=1(i=1,2,5）;初始解：，即x0(0)=5，y0(0)=4。直线距离为di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)2目标函数运输总费用H=i=15widi ，其中 wi=1(i=1,2,5）H(0)=j=15dj=13.6094根据下列进行迭代：x0(1)=i=15xidii=151di， y0(1)=i=15yidii=151di，di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2直到运费无法减小。用MATLAB 进行编码：运行结果得，迭代78次得到最优解。其中选址坐标为（5
10、.6235,4.9918），最小运费为H=13.4550。或由EXCEL迭代得，结果如图费用结果保留三位小数得最优解为X=5.5767，y=4.010,H=13.45615.某物流公司拟建一仓库负责向四个工厂进行物料供应配送，各工厂的具体位置与年物料配送量见表2.10，设拟建物流公司仓库对各工厂的单位运输成本相等。利用重心法计算确定物流公司的仓库坐标位置为多少。 表2.10 各工厂的具体位置与年物料配送量解：设仓库的坐标为（x0，y0)，4个工厂的坐标为(xi,yi),仓库到各生产地的距离为di=(x0-xi)2+(y0-yi)2,目标函数运输总费用H=i=15icidi=i=15widi，i
11、为工厂年配送量，ci为单位运输成本，因单位运输成本相等，故令ci=1，于是有w1 =2000,w2=1200,w3 =1000,w4=2500初始解x0=1nxi=37.5, y0=1nyi=42.5di(0)=(x0-xi)2+(y0-yi)2, 此时H0=192249.4令x0(1)=i=15wixidii=15xidi, y0(1)=i=15wiyidii=15yidi,di(1)=(x0(1)-xi)2+(y0(1)-yi)2H1=i=15widi(1)=190400.4由EXCEL迭代得，结果如图结果保留整数得最优解为（42.22076，33.82437）,H=188709或用MAT
12、LAB进行编码（文件见附件）：运行结果得，迭代59次得到最优解。其中选址坐标为（42.2865, 33.6732），最小运费为H= 188707.914。16. 筹建一农副产品流通加工厂，可供选择的候选厂址有D、E、F三处，因地址不同各厂加工成本亦有区别，各厂址每年费用如表2.7所示。此外，为决定厂址还考虑了一些重要的非成本因素，如当地竞争能力、气候变化和周围环境是否适合农副产品流通加工等。对于竞争能力而言，F地最强，D、E两地相平；就气候来说，D比E好，F地最好；至于环境，E地最优，其次为F地、D地。如果各主观因素的重要性指数a、b、c依次为0.6、0.3和0.1，要求用因次分析法评定最佳厂
13、址在何处。表2.11 各候选厂址每年加工成本费用要点：P中值法分5个步骤进行。解: （1）计算客观量度值OMi ，OMi=Ci1Ci-1 OMD=523*(1523+1525+1551)-1=0.3395同理可得：OME=0.3382,OMF=0.3223。（2）计算主观评比值Sik（有3个不同的主观因素） 竞争能力（FD=E） 注：D=E，比较记为0.5两两相比厂址FED比重SiaD00.50.50.167E00.50.50.167F1120.666 气候（FDE）两两相比厂址FED比重SiaD0110.33E000F1120.67 环境（EFD）两两相比厂址FED比重SiaD0000E11
14、20.67F0110.33（3）计算主观量度值SMi， SMi=k=13IkSik，其中Ik为各主观因素的重要性指数。因素kDEF重要性指数IkSia0.1670.1670.6660.6Sib0.3300.670.3Sic00.670.330.1计算可得SMD=0.167*0.6+0.33*0.3+0*0.1=0.1992SME=0.167*0.6+0*0.3+0.67*0.1=0.1672SMF=0.666*0.6+0.67*0.3+0.33*0.1=0.6336（4）计算位置量度值LMi，LMi=X*SMi+（1-X）*OMi由于题中没有给出主观因素与客观因素的相互比重，假设两者相等即同种重要，即主客观比重值X=0.5。LMD=0.5*0.3395+0.5*0.1992=0.26935LME=0.5*0.3382+0.5*0.1672=0.2527LMF=0.5*0.3223+0.5*0.6336=
