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1、2011年湖北省黄冈中学自主招生考试数学试卷一、填空题（5×8=40分）1（5分）（2012乐平市校级自主招生）方程组的解是2（5分）（2011罗田县校级自主招生）若对任意实数x不等式axb都成立，那么a，b的取值范围为3（5分）（2013武汉校级自主招生）设1x2，则|x2|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为4（5分）（2011罗田县校级自主招生）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1，P2，P3、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、x2007，纵坐标分别是1，3，5共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、P2007分别作y轴的
2、平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1，y1）、Q1（x2，y2）、Q2（x2007，y2007），则|P2007Q2007|=5（5分）（2011罗田县校级自主招生）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是6（5分）（2012金阊区校级自主招生）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是7（5分）（2011罗田县校级自主招生）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x23x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是8（5分）（2015黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2px
3、+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为二、选择题（5×8=40分）9（5分）（2015黄冈中学自主招生）如图，ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：1010（5分）（2012涪城区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）ABCD11（5分）（2002济南）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）Aa1
4、Ba2Ca1Da212（5分）（2015黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A1.2元B1.05元C0.95元D0.9元13（5分）（2014余姚市校级自主招生）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x11x2，那么实数a的取值范围是（）ABCD14（5分）（2015黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D115（5
5、分）（2015黄冈中学自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A1xBCD16（5分）（2012涪城区校级自主招生）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A2x%B1+2x%C（1+x%）x%D（2+x%）x%三、解答题17（15分）（2015永春县自主招生）设m是不小于1的实数，关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值18（15分）（2013茶陵县自主招生）如图，开口向下的抛
6、物线y=ax28ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使OCAOBC，（1）求OC的长及的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式19（15分）（2013茶陵县自主招生）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱工 时产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）20（10分）（2013茶陵县自主招生）
7、一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率21（15分）（1999福州）如图，已知O和O相交于A、B两点，过点A作O的切线交O于点C，过点B作两圆的割线分别交O、O于E、F，EF与AC相交于点P（1）求证：PAPE=PCPF；（2）求证：；（3）当O与O为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求PEC与FAP的面积的比值2011年湖北省黄冈中学自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（5×8=40分）1（5分）（2012乐平市校级自主招生）方程组的解是和【解答】解：设x+1=a，y1=b，则原方程可变为，由式又可变
8、化为=26，把式代入得=13，这又可以变形为（+）23=13，再代入又得3=9，解得ab=27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得故答案为和2（5分）（2011罗田县校级自主招生）若对任意实数x不等式axb都成立，那么a，b的取值范围为a=0，b0【解答】解：如果a0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式axb都成立是不可能的，a=0，则左边式子ax=0，b0一定成立，a，b的取值范围为a=0，b03（5分）（2013武汉校级自主招生）设1x2，则|x2|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为1【解答】解：1x2，x20，x+20，当2x0时，|x2|
9、x|+|x+2|=2xx+x+2=4x；当1x0时，|x2|x|+|x+2|=2x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1故答案为：14（5分）（2011罗田县校级自主招生）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1，P2，P3、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、x2007，纵坐标分别是1，3，5共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1，y1）、Q1（x2，y2）、Q2（x2007，y2007），则|P2007Q2007
10、|=【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又P2007在y=上，Px2007=而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007=，|P2007Q2007|=|Py2007Qy2007|=|4013|=故答案为：5（5分）（2011罗田县校级自主招生）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是3【解答】解：图中扇形的弧长是2，根据弧长公式得到2=n=120即扇形的圆心角是120弧所对的弦长是23sin60=36（5分）（2012金阊区校级自主招生）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12
11、，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5AEF=B=90，EAF是公共角，AEFABC，=EF=折线长=2EF=故答案为7（5分）（2011罗田县校级自主招生）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x23x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是【解答】解：由方程x23x+2=0解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2故这组数据是3，1，4，2，5其平均数（3+1+4+2+5）=3方差S2=（33）2+（13）2+（43）2+（23）2+（53）2=2故五个
12、数据的标准差是S=故本题答案为：8（5分）（2015黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）【解答】解：y=2x2px+4p+1可化为y=2x2p（x4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）二、选择题（5×8=40分）9（5分）（2015黄冈中学自主招生）如图，ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：10【
13、解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3EM平行于ADBHDBME，CEMCDAHD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3AH=（3）ME，AH：ME=12：5HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，BH：HM=3：2=BH：17kBH=K，BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D10（5分）（2012涪城区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）ABCD【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又r=，a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）又内切圆的面积是r2，它们的比是故选B11（5分）（2002济南）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba2Ca1Da2【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故a2故选D12（5分）（2015黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.1
