《东南大学 考博 信号与信息处理 《现代数字信号处理》第5章习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《东南大学 考博 信号与信息处理 《现代数字信号处理》第5章习题答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、现代数字信号处理习题参考答案 第五章习题参考答案第五章习题参考答案 5.1 给定随机过程 x(n)的 N=10000 个样本点，要计算其周期图，但由于存储单元有限，你最 多只能计算 1024 点的 DFT，试说明如何利用这 10000 个样本值计算其周期图，并使其 分辨率为： 2 0.8910000 = 解：解： （提示：试分析时间抽取 FFT 算法是如何工作的） 为了以 N=10000 个数据值获得最大的分辨率，必须计算 x(n)的周期图（若将 x(n)分段， 将降低分辨率） 。因此问题是如何用1024点的 DFT 来计算 x(n)的周期图。回忆 FFT 的工作 原理，注意有： ()( )(
2、) () () 999999999999 10 00000 1010 jn ljjnjl nnlln jn X ex n exnl eexnl e + = =+=+ 因此，计算步骤是先将( )x n补零到长度10240N =，然后将( )x n抽取为10个长度 的子序列1024M =( ) l x n ( )()10 l x nxnl=+ 0,1,1023n =?， 然后计算这些子序列 的1024点的得DFT( ) l Xk，再将各( ) l Xk与相应的因子 2 exp 10240 k jl 相乘后进行线 性组合即得( )X k，即 ( )( ) 2 9 10240 0 k jl l l X
3、 keXk = =0,1,10239k =?， 最后计算 ( ) 21 X k N ，即得到0,1,10239k=?( )x n的周期图，其分辨率为 2 0.89 10000 = 。 5.2 一个连续时间信号( ) a x t的带宽只有 5KHz，即( ) a x t的谱( ) a Xf在|f|5KHz 时为零。设 只记录了 10 秒的信号值可用于处理，我们要用这些数据和基 2-FFT 算法估计( ) a x t的 功率谱，并要求谱估计的分辨率至少为 10Hz，假设采用的是 Bartlett 周期图平均法。 (a) 若数据按 Nyquist 速率采样，为获得所需的分辨率，分段时的最小段长是多少
4、？ (b) 对 10 秒的数据，若用(a)中确定的最小段长，则有多少个数据段可用于平均？ (c) 选择不同的采样速率将如何影响谱估计的分辨率？若高于 Nyquist 速率采样， 是否会有 什么好处？ 解：解： （a）若按速率采样应取Nyquist10 s fkHz=，模拟频域的分辨率10fHz =意味着 数字频域的分辨率为： 3 2210 s f f =；对法，分辨率与段长BartlettL的关系 现代数字信号处理习题参考答案 是： 2 0.89 L =，所以有： 2 0.89890L = 个样点。 （b）10采样时，10秒的数据点数为kHz() 3 1010 1010N = 5 。 实际中，
5、890点的 不 易 计 算 ， 一 般 是 采 用1024点 的， 所 以 可 用 于 平 均 的 数 据 段 数 为 ： DFT DFT 98 1024 N K = 。 （c）若采样速率 s f增加，则减少，即对给定的分辨率f，将需要更长的数据段。但 是采样速率增加也使T秒间隔内的样本点数增加，所以归一化的方差仍是： M V N =。增 加采样速率对其没有影响，因此，只要采样速率不低于速率，Bar法的谱估计 分辨率与采样速率无关。 Nyquisttlett 5.3 设要用 Bartlett 法由 N=2000 个采样点的数据序列估计信号的功率谱。 (a) 若希望达到的分辨率，最少段长 L 是
6、多少？ 0.005f = (b) 试解释为什么增加 L 使其超过(a)中确定的最小值，不会有什么好处。 (c) 谱估计的品质因子是定义为其可变度的倒数：Q =1/V。若采用 Bartlett 法，则为达到 的分辨率，且品质因子至少 5 倍于周期图法的结果，则所需的数据样本点 数 N 至少应多大？ 0.005f = 解：解： （a）由于 1 0.89f L =，因此 0.890.89 178 0.005 L f = 。 （b）增加L将增加分辨率，但同时也使可用于平均的数据段数减少，从而增加谱估计的方 差。 （c） 对周期图， 品质因子是 1 1 per per Q= V ， 而法的品质因子是Ba
7、rtlett 1 B B QK= V 。 因此，若要5 B per Q Q ，必须要求。由于5K 178M =（对0.005f =） ，因此必须使 数点数满足：点。 5 178890NKM= = 5.4 设随机过程( )x n是单位方差白噪声激励如下的系统而产生的。 ( )w n 其中； 12 1( ) 10.99A zazz = + 12 2( ) 10.98A zazz = +。 (a) 若假设 a 较小，例如 0 。 对0.51600=，必须 2 0.8956 0.5160 L =。 不妨再来看看谱估计的均值在Bartlett 1 和 2 处的值。由定义： () ( ) () ( ) (
8、) 1 1 K kkjj Bper k E PeEPeE Pe K = j per = ? 因此有： ()() () () 1 2 jjj BxB E PeP eWed = ? ， 其中 () () () 2 sin 1 2 sin 2 j B L We L = 。 由于已选择L使得两个峰值可以被分辨， 因此不妨假设 () j B We 只在区间 22 上非零。进一步，由于 ( j B We ) 窗函数的主瓣宽度远大于谱峰的宽度，因此可假设在区间 22 上() j B We L，因此有如下的近似公式： () () () 2 22 jj Bx L E PeP ed = ? 因此， () j B
9、E Pe 在 1 和 2 处的值分别正比于两个谱峰下的积分面积。 (c ) 对周期图平滑，并采用窗，其分辨率为：Bartlett 2 0.64 M = 而对平均法且时，其分辨率为：Bartlett56L = 2 0.89 56 = 为使它们具有相同的分辨率，必须: 256 0.640.6440 0.89 M = Bartlett平均法谱估计的归一化方差是 1 B K =V, 现取4K = 而对周期图平滑, 其归一化方差是 2 2 BT M N =V,为使两者相同,必须: 21 34 M N = 现在, 分辨率相同, 因此所需的数据长度为: 40M = 88 40107 33 NM=. 5.5
10、许多商业的频谱分析仪中都对输入信号( )x n的分段数据的周期图作如下的指数平均连 续修正来获得其功率谱的估计： ( ) j i P e = 2 1 1 0 1 ()( ) N jj ii n Pex n e N = + n 其中( )() i x nx nN i=+是( )x n的第i个 N 点长度的数据序列。修正方程初始化为 现代数字信号处理习题参考答案 1 ()0 j Pe =。 (a) 试定性地描述该方法的内在机理，并讨论加权因子的值应如何选择。 (b) 假设相继的各周期图是不相关的，且01,) ( )0 v r k= 再由给定的的估计值，可( ) y rk( )yrk的值为： ( )
11、 02 x r=，( ) 11 x r=( ) 20 x r=，( ) 31 x r= ，( ) 40. x r=5 现在可用最大熵法来估计( )x n的功率谱，要求解得正则方程是： ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0111 1022 xxx xxx rrar rrar ( = ，即 ) ( ) 1211 2120 a a = ，解得 ( ) ( ) 2 3 1 3 1 2 a a = ， 故 () 2 21 1 33 jj p Aeee j = +。 又因为建模误差为： ( )( )( )( )( ) 4 01122 3 xxx rarar=+= 因此最大熵功率谱
12、估计是： () 43 2 21 33 1 j mem jjz Pe ee = + 5.18 试证明当时， 通过最小化估计 AR 过程的阶数等效于最小化。 1N?( )FPE p( )AIC p 解：解：是：AkaikiFPE( ) 1 1 11 11 P N pp P N NP FPE p NP + + = 故 ：( )()() 1 lnlnln 1ln 1 P pN FPE p + =+ 1P N + 根 据 逼 近 公 式 ， 若 x 很 小 ， 则 ()ln 1xx+，因此当很大时，上式近似为：N( ) 1 lnln2 p P FPE p N + +， 即 ( )()lnln21 p N
13、FPE pNP+ 而另一个准则( )AIC p是： ( )ln2 p AIC pNP=+ 因此有：( )(lnNFPE pAIC p) 由上式，因对数函数是单调增长函数，故对很大的 N，最小化( )FPE p等效于最小化 。 ( )AIC p 现代数字信号处理习题参考答案 5.19 设给定宽平稳随机过程( )x n的如下自相关序列值：(0)2 x r=, (1)3/2 x r=, , 相应的 33 的 Toeplitz 自相关阵的特征值为(2)0.5 x r= 1 3.5=， 2 1.5=， 3 1.0=， 归一化的特征矢量为： 1 3/2 2/51 3/2 = v， 2 1 1 0 21 =
14、 v， 3 1 1/53 1 = v 已经知道( )x n是由单个正弦分量加上白噪声而组成。 (a) 试用频率估计的 Blackman-Tukey 法估计正弦分量的频率。 (b) 试用 MUSIC 算法估计正弦分量的频率。 (c) 试用最小范数算法估计正弦分量的频率。 解：解：(a) BlackmanTukey频率估计是基于如下功率谱估计的峰值定位： () 2 1 1 p jH PC BTii i Pe M = = e v 其中M是自相关阵的维数，p是复谐波的个数。这里取3,2Mp=，并利用给定的特征 矢量和特征值，有 () 2 2123315141 3.51.513coscos2 352223155 jjjzjz PC BT Peeee =+ +=+ 显然，它的峰值在0=处，其它处没有峰值。但0=显然不是要求的解，所以该方法失 效了。 若不用主分量法，则 () 3 2 1 12 3 2coscos 33 jH BTii i Pee v 1 2 3 = =+ ，也是在0= 处有峰值，结果一样。 （b）若用MUSIC算法，首先得特征谱： （注意3,2Mp=） () 2 2 2 3 1 1115 1 54 3cos2cos2 14 3cos2cos2 5
