浅谈切比雪夫多项式

《浅谈切比雪夫多项式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈切比雪夫多项式（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、苏州大学本科生毕业设计（论文） 1 浅谈切比雪夫多项式浅谈切比雪夫多项式 数学与应用数学（师范）2008 级 石晓萌 0807402049 指导老师 刘长剑 摘摘 要要 本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质 做了全面而又简练的概括和说明除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系， 并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用 关键词关键词：切比雪夫多项式 三角函数 复数 正交性 最小偏差 插值 苏州大学本科生毕业设计（论文） 2 Discussion on the chebyshev polynomials Mathematics and

2、Applied Mathematics (normal school) ShiXiaomeng 0807402049 Supervisor Liu Changjian Abstract This paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper a

3、lso studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of he chebyshev polynomial in dealing with practical problems. Key word: chebyshev polynomial trigonometric function Plural orthogonality minimum deviation interpolation 苏州大学本科生毕业设计（论文） 3 目

4、录目录 1 问题的来源及起源问题的来源及起源1 1.11.1前言前言.4 1.21.2 切比雪夫多项式的来源切比雪夫多项式的来源4 2 切比雪夫多项式的概念及性质切比雪夫多项式的概念及性质8 2.1 第一类切比雪夫多项式及性质第一类切比雪夫多项式及性质.8 2.22.2 第二类切比雪夫多项式及性质第二类切比雪夫多项式及性质10 3 3两类切比雪夫多项式的关系两类切比雪夫多项式的关系.11 4切比雪夫多项式的应用切比雪夫多项式的应用.13 4.14.1 切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式插值13 4.24.2 幂级数项数的节约幂级数项数的节约14 结束语结束语.15 参考文献参考文献.16 苏州大

5、学本科生毕业设计（论文） 4 1 1 问题的来源及起源问题的来源及起源 1.1 前言前言 以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，182l 一 1894)的名字命 名的重要的特殊函数第一类和第二类切比雪夫多项式( ) n T x和( ) n Ux (简称切比雪夫多项式)， 源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多 项式序列，是计算数学中的一类特殊函数，对于注入连续函数逼近问题，阻抗变换问题等等 的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用2 在大学的数学中，在数学分析的习题里提到过切比雪夫多项式，对于该多项式并未有

6、过 多的了解详细探讨了解切比雪夫多项式对即将毕业的我来说是一件不可多得的再次学习机 会，因此着手写这篇论文本文追溯切比雪夫多项式的起源，从三角函数和复数两个方面导 出切比雪夫多项式，研究两类切比雪夫多项式的性质、关系以及应用 1.2 切比雪夫多项式的源来切比雪夫多项式的源来 我们用以下几种方法来求得切比雪夫多项式 方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦这样就产生余 弦的n倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题通过研究，发现cosn都是关 于2cos的首项系数为1的、次数等于的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进 一步得到cosn的一些性质应用此性质，可以

7、得到一些求和公式及解决许多数学问题进 一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式 在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cosn是众所周知的偶函数，它 的倍角公式如： 2 cos22cos1 ，(1) 3 cos34cos3cos (2) 它们都是由余弦cos的幂整系数线性组合来表倍角的余弦这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得 42 cos48cos8cos1 ，(3) 53 cos516cos20cos5cos (4) 观察公式(14)，可以发现如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos的首系 数为1的、次数等于公式

8、左边的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式由此猜测 2cosn也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明 猜想 2 , 0 2cos( 1)(2cos ) mnm n m m na ，(;nNmN ) (5) 苏州大学本科生毕业设计（论文） 5 显然，n=1时猜想成立;由公式(14)知，n5时 猜想成立(mn/2时 , 20 n m ) 假定nk(kN 且 k2)时猜想成立，下证1nk时猜想也成立 cos(1)coscossinsinkkk sinsinsin(1) sincos(1) sinsinkkk 2 s i n (1 )s i nc o sc o s (1 )s i nkk 2 co

9、s(1) coscoscoscos(1) (1 cos)kkk coscoscos(1)kk 故 cos(1)2 coscoscos(1)kkk 因此 2cos(1)2cos2cos2cos(1)kkk 2 , 0 ( 1)(2cos )2cos mkm k m m 1 2 1, 0 ( 1)(2cos ) mkm km m 1 2 , 0 ( 1)(2cos ) mkm k m m 1 2 1,1 1 ( 1)(2cos ) mkm km m 1 ,0 1 (2cos )( 1) km k m 1 2 ,1,1 ()(2cos )k m k mkm 记 1,1,kmk mkm ，那么 1 2

10、 1, 0 2cos(1)( 1)(2cos ) mkm km m k 即当1nk时猜想也成立从而对任意正整数n，猜想成立 以上不仅证明了(5)式对任意正整数n成立，而且得到了(5)式中系数 ,n m 的递推公式： 1,02,02,1 1,1,2， 1,0,0nn (2n)， (6) 1,1,1nmn mnm (2,1/2nmn)(7) 由此易得 1 ,1 1,m0; ,1m/ 2; 0,m n/2. m n mn m n Cn m 当 当 当 上式可由数学归纳法证明从而(5)式可改写为： n/3 12 1 1 2cos(2cos )( 1)(2cos ) ent nmmnm n m m n

11、nC m ，(9) 苏州大学本科生毕业设计（论文） 6 (9)式称为 n 倍角余弦公式 124 24 cos2(cos )(cos )(cos ) nnnn nn n ， 其中 i 为正整数 因为余弦cos在0,上单调，对应值为1降到1，即cos1 ,1 ，0, 因 此存在反函数，若令cosx，则arccosx，1,1x ，0,因此，在余弦n倍角 公式中令arccosx，0,，1,1x ，则倍角公式为 24 1 24 cos( arccos )2cos(arccos )cos(arccos )cos(arccos ) nnn n nn nxxxx 124 24 2n nnn nn xxx 于是

12、cos( arccos )nx首项系数为 1 2n的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x的幂 依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零 若记cos( arccos )nx=( ) n T x，则( ) n T x满足， 12 ( )2( )( ) nnn T xxTxTx ，( ) n T x称为切比雪 夫多项式从递推关系可以得到： 0( ) 1T x ， 1( ) T xx， 2 2( ) 21T xx， 3 3( ) 43T xxx， 42 4( ) 88+1T xxx， 53 5( ) 1620+5T xxxx， 642 6( ) 3248+181T xxxx 这是第一类切比

13、雪夫多项式，第二类切比雪夫多项式可由n倍角余弦公式得到4 方法二：用复数的方法4 cossin i ei ， cossin i ei ， 两边相加可以得cos的复数表示 cos 2 ii ee ， 进一步以n代替得 1 cos 22 inin nn ii ee nee ， 也就是 1 coscossincossin 2 nn nii 若考虑cosx， 2 sin1x， 于是 苏州大学本科生毕业设计（论文） 7 22 1 ( )cos( arccos )11 2 nn n P xnxixxix ， 此时1,1x 而对1x 时，上式也有意义 由于 22 11xi x，因此 22 1 ( )11 2 nn n P xxxxx 我们又得到( ) n P x的表达式 ( )cos( arccos ) n P xn 22 1 11 2 nn xxxx 苏州大学本科生毕业设计（论文） 8 2 2切比雪夫多项式的概念及性质切比雪夫多项式的概念及性质 方程1 2 22 2 10 d ydy xxn y dxdx