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1、第六章 真空中的静电场习题选解6-1 三个电量为的点电荷各放在边长为的等边三角形的三个顶点上，电荷放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，之值应为多大？解：以三角形上顶点所置的电荷()为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为，方向如图所示，其大小为-q-q-qQ 题6-1图中心处对上顶点电荷的作用力为，方向与相反，如图所示，其大小为由，得 。6-2 在某一时刻，从的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离残核的中心为。试问：（1）作用在粒子上的力为多大？（2）粒子的加速度为多大？解：（1）由反应，可知粒子带两个单位正电荷，即离子带90个单位正电荷，即它们距离为由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：（
2、2）粒子的质量为：由牛顿第二定律得：6-3 如图所示，有四个电量均为的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为题6-3 图题6-3 图力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与轴成角。6-4 在直角三角形的点放置点电荷，点放置点电荷，已知，试求直角顶点处的场强。解：点电荷在点产生的场强为，方向向下点电荷在点产生的场强为，方向向右题6
3、-4图根据场强叠加原理，点场强设与夹角为，6-5 如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为（）的点处的电场强度为，式中，称为这种电荷分布的电四极矩。题6-5图解：由于各电荷在点产生的电场方向都在轴上，根据场强叠加原理由于，式中可略去又电四极矩 故 题6-5图6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为的点处的电场强度。解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元在点产生的场强为题6-6图场强可分解成沿轴、轴的分量题6-6图点场强 方向与轴夹角为 6-7 一根带电细棒长为，沿轴放置，其一端在原点，电
4、荷线密度（为正的常数）。求轴上，处的电场强度。解：在坐标为处取线元，带电量为，该线元在点的场强为，方向沿轴正方向整个带电细棒在点产生的电场为 题6-7图 场强方向沿轴正方向6-8 如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为的半圆形。其上一半均匀带电荷，另一半均匀带电荷。求圆心处的场强。解：以圆心为原点建立如图所示坐标，题6-8图在胶棒带正电部分任取一线元，与夹角为，线元带电荷量，在点产生电场强度把场强分解成沿轴和轴的分量 题6-8图同理，胶棒带负电部分在点的场强沿轴方向的分量与大小相等，方向相同；沿轴方向的分量与大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为 方向沿轴正向。6-9 一无限大均匀带电平面，电荷
5、面密度为，在平面上开一个半径为的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心处一点的场强。解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度相同的圆盘。距洞心处点的场强式中为无限大均匀带电平面在点产生的场强 题6-9图方向垂直于平面向外为半径为的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为处的产生的场强。在圆盘上取半径为，宽为的细圆环，在点产生场强 方向垂直圆盘向里故 方向垂直平面向外6-10 如图所示，一条长为的均匀带电直线，所带电量为，求带电直线延长线上任一点的场强。解：在坐标为处取线元，带电量该线元在带电直线延长线上距原点为的点产生的场强为题6-10图题6-10图整个带
6、电直线在点的场强 6-11 用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。解：（1）建如图坐标，以板上任一点为圆心，取半径为，宽度为的环形面积元，带电量为：。由圆环电荷在其轴线上任一点的场强公式方向沿轴正方向。点总场强题6-11图 （，的方向沿轴正方向） （2）建如图所示的三维坐标，在与轴相距为处取一细长线元，沿轴方向单位长度带电荷为，由长直带电直线场强公式，线元在轴距原点为的点的场强题6-11图由于对称性，的轴分量总和为零所以 因为，所以的方向沿轴正方向。6-12 如图所示，半径为的带电细圆环，线电荷密度，为常数，为
7、半径与轴夹角，求圆环中心处的电场强度。解：在带电圆环上任取一线元，带电量为，线元与原点的连线与轴夹角为，在点的场强大小为 题6-12图沿轴和轴的分量整个带电圆环在点的场强沿轴和轴的分量故 的方向沿轴负方向。6-13 如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为，线电荷密度分别为和，求：（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布；（2）两直线单位长度的相互作用力。解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点距两线构成平面为，到两线距离为。两带电直线在点的场强为题6-13图由于对称性，两线在点的场强沿轴方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消题6-13图 方向沿轴正方向（2）两直线相距为，带正电直
8、线在带负电直线处的场强为。由，带负电直线单位长度的电荷受电场力，方向指向带正电直线。同理，带正电直线单位长度受电场力，方向指向带负电直线。故有，两带电直线相互吸引。6-14 如图所示，长为、线电荷密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为，求两棒间的静电相互作用力。题6-14图解：（1）建立如图所示坐标，在左棒中坐标为处取线元，带电量，线元在坐标处的场强左棒在坐标处点的场强 题6-14图 （2）在右棒中坐标为处取线元，带电量，该线元受电场力右棒受总电场力为 的方向沿轴正方向。两棒间的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。6-15 用细的不导电的塑料棒弯成半径为的圆弧，棒两
9、端点间的空隙为，棒上均匀分布着的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心场强对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心的电场强度为零，。上一带负电小圆弧棒相对于圆心可近似题6-15图看成一个点电荷，电量为：圆心处场强，方向指向空隙。6-16 如图所示，一点电荷处于边长为的正方形平面中垂线上，与平面中心点相距，求通过正方形平面的电场强度通量。解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为的正方体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为oq题6-16图 则通过该正方形平面的电通量为。6-
10、17 设匀强电场的场强为，与半径为的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。解：方法一：在半球面上取宽为的环状面积元，通过面元的电场强度通量通过整个半球面的电场强度通量题6-17图方法二：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面的电场强度通量相等。通过面的电场强度通量：故通过半球面的电场强度通量亦为。6-18 在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为的电荷被密度为的负电荷所包围，是“玻尔半径”，是为了使电荷总量等于所需要的常量。试问在半径为的球内净电荷是多少？距核远处的电场强度多大？解：由，可得由 原式成为 所以 要求半径为的球内的静电荷。应先求半径的球内的负电荷球内
11、净电荷为 由高斯定律 6-19 在半径分别为,的两个同心球面上，分别均匀带电为和，求空间的场强分布，并作出关系曲线。解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。（1）以球心为圆心，为半径（）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即因而 （2）以为圆心，半径为（）作一同心球面，由高斯定理 题6-19图（3）以为圆心，半径为（）作一同心的球面，由高斯定理所以 曲线如图6-19所示。6-20 设均匀带电球壳内、外半径分别为和，带电量为。分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出图。解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性
12、。（1）在的区域，电量为零。由高斯定理，因而各点场强为零。（2）在区域，以为半径作同心球面。由高斯定理由 因此 （3）在区域，以为半径作同心球面，由高斯定理曲线如图6-20所示。 题6-20图6-21 无限长共轴圆柱面，半径分别为和()，均匀带电，单位长度上的电量分别为和。求距轴为处的场强(1)；(2)；(3)。解：（1）在半径为的圆柱面内作半径为，高为的同轴圆柱面，作为高斯面。通过此高斯面的通量各点垂直于轴线，上下底面电通量为零因而 (（2）在半径为、的两圆柱面间作半径为，高为的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理可见 （3）同理在的区域 6-22 一半径为的无限长带电圆柱，其体电荷密度为()，为常数。求场强分布。解：（1）在圆柱体内处（），取一点，过以底面半径为，高为作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围的电荷量 题6-22图通过圆柱侧面的电通量为，通过两底面的电通量为零，由高斯定理可得 的方向沿矢径的方向（2）在圆柱体外处（）取一点，过点以底面半径为，高为作闭合同轴
