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1、3 高斯定理 一.电力线 用一族空间曲线形象描述场强分布 通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force) 1.规定 方向：力线上每一点的切线方向； 大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值。,若面积元不垂直电场强度， 电场强度与电力线条数、面积元的 关系怎样？,电力线条数相同,匀强电场,2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。 之所以具有这些基本性质
2、， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。,二.电通量 (electric flux) 藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数,通过任意面积元的电通量,通过任意曲面的电通量怎么计算？,把曲面分成许多个面积元 每一面元处视为匀强电场,通过闭合面的电通量,正与负 取决于面元的法线方向的选取,如前图 知,0,若如红箭头所示 则,0,规定：面元方向 由闭合面内指向面外,确定的值,0,0,电力线穿入 电力线穿出,三.静电场的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量 等于这闭合面所包围的电量的代数和 。,除以,平面角：
3、 由一点发出的两条射线之间的夹角,单位：弧度,当然也,一般的定义：,射线长为,线段元,对某点所张的平面角,平面角,立体角 面元dS 对某点所张的立体角： 锥体的“顶角”,单位 球面度,对比平面角，取半径为,球面面元,定义式,弧度,计算闭合曲面对面内一点所张的立体角,球面度,计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角,库仑定律 + 叠加原理,思路：先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场,1) 源电荷是点电荷 在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示),2.高斯定理的证明,在闭合面S上任取面元,该面元对点电荷所张的立体角,点电荷在面元处的场强为,点电荷在面元处的场强为,在所设的情况下得证,2)源
4、电荷仍是点电荷 取一闭合面不包围点电荷(如图示),在闭合面上任取面元,该面元对点电荷张的立体角,也对应面元,两面元处对应的点电荷的电场强度分别为,3) 源和面均 任意 根据叠加原理可得,此种情况下仍得证,1.闭合面内、外电荷的贡献,2.静电场性质的基本方程,3.源于库仑定律 高于库仑定律 4.微分形式,只有闭合面内的电量对电通量有贡献,有源场,四. 高斯定理在解场方面的应用,常见的电量分布的对称性： 球对称 柱对称 面对称,均匀带电的,球体 球面 (点电荷),无限长 柱体 柱面 带电线,无限大 平板 平面,例1 均匀带电球面,根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面),解:,取过场点的 以球心 o 为心的球面,总电量为,半径为,求：电场强度分布, 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量,再根据高斯定理解方程,过场点的高斯面内电量代数和?,如何理解面内场强为0 ?,过P点作圆锥 则在球面上截出两电荷元,在P点场强,方向如图,在P点场强,方向如图,例2 均匀带电的无限长的直线,线密度,对称性的分析,取合适的高斯面,计算电通量,利用高斯定理解出,例3 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电,证明： 在导体内任取体积元,体积元任取,证毕,
