《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 邱德润 第4章 频域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 邱德润 第4章 频域分析（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 频域分析 4.1 频域分析法及其特点 4.2 连续信号与系统控制的频域分析 4.3 MATLAB在频域分析法中的应用,4.1 频域分析法及其特点,4.1.1 什么是频域分析法 4.1.2 频域分析法的特点,4.1.1 什么是频域分析法,频域分析法（ 傅里叶 J.Fourier, 1768-1830 ）是一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、研究信号与系统控制的问题。“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号（序列）或虚指数信号（序列）的叠加，将非周期信号分解为相应信号（序列）
2、的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在工程实际中得到了广泛应用。 限于篇幅，本章只研究“连续”信号与系统控制的频域分析，而对于“离散”信号与系统控制的问题，将在第5章“复频域分析”中详细讨论。,4.1.2 频域分析法的特点,1. 明确的物理意义信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基本滤波性能。 2. 图解与渐近逼近信号的“离散”或“连续”频谱，非常直观、明析；系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出，且容易修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。 3. 近似与间接研究根据信号频谱的主要能量分布，可以实现信号的离散取样与复现
3、；根据系统控制的开环Bode图，可研究系统的闭环性能并绘制 Nichols图、得到系统的闭环特性曲线。 4. 可通过实验观测信号的频谱可以通过频谱分析仪观察、测试；系统或环节的频率特性则可以通过扫频仪进行观察和测试。 5. 局限于LTI系统频域分析法仅限于LTI系统的分析与研究；对于满足LTI条件的许多系统，都可以应用频域分析法进行限于零状态响应的研究，但不宜进行零输入响应与完全响应的研究。,4.2 连续信号与系统控制的频域分析,4.2.1 信号的频谱 4.2.2 信号的傅立叶变换 4.2.3 采样定理 4.2.4 连续系统的频域分析 4.2.5 连续系统的频率特性 4.2.6 Nyquist
4、稳定判据与对数频率稳定判据 4.2.7 系统Bode图的三频段分析与闭环特性 4.2.8 系统频域指标与时域指标的关系,4.2.1 信号的频谱 1. 傅里叶级数 三角函数的正交性使得任意两个不同的三角函数的乘积在一个周期内的积分为0，即有 （4.2-1） （4.2-2） （4.2-3） 任一周期信号 都可由完备的正交三角函数集 中各正交函数的线性组合来表示。在此正交三角函数集中，由于 时，有 ，因此上述正交三角函数集可以具体写为,（4.2-4） 需要指出，此周期信号 须满足狄里赫利（Dirichlet）条件：, 函数在任意有限区间连续，或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内，函数只有有限个极
5、大值或极小值； 在一个周期内，函数 绝对可积。,通常我们遇到的周期信号，都能满足狄里赫利条件。,对于任何一个周期为,的周期信号,，都可用下面的线性,组合来表示：,（4.2-5）,称为基波角频率；,和,为加权系数，且,（4.2-6）,（4.2-7）,的直流分量为,（4.2-9）,式中，,式（4.2-5）可写为,（4.2-10）,列谐波分量之和来表示。其中，,为直流分量，,为,量的振幅，,为,次谐波分量的相位。振幅,、相位,与系数,和,的三角关系如图4.2-1所示，分别为,式（4.2-10）表明，任一周期信号,可用一直流分量和一系,次谐波分,（4.2-11）,（4.2-12）,. 函数的对称性与傅
6、立叶系数的关系 1) 偶对称 2) 奇对称 3) 奇谐对称 4) 偶谐对称, 信号波形关于纵轴对称，有, 信号波形关于原点对称，有,信号沿 t 轴平移半个周期后与原波形,镜像，即,信号沿 t 轴平移半个周期后与原波形,满足,，在偶函数,的傅立叶级数展开式中，没有正弦项，只需求a 0 与a n 即可。,级数展开式只有正弦项，没有直流与余弦项，只需求b n 即可。,，其傅立叶,关于时间轴,，其傅立叶级数展开式中，只有奇次,项，而没有直流与偶次谐波项。,完全重叠，,，其傅立叶级数展开式中，没有奇次谐波，,只有直流及偶次正弦项与偶次余弦项。,例4.2-1 求图4.2-5所示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
7、展开式。 解：分解图4.2-5所示信号为,与,，如图4.2-6所示。,其中，,为原信号的直流分量；,则同时具有奇对称与奇谐对称特性。 即在,信号的傅里叶级数展开式中，只有奇次正弦项，没有直流、偶次谐波与奇次余弦项。因此，对,叶系数，只需求取bn|n =1, 3, 5, 即可。,的傅里,3. 指数形式的傅立叶级数 1）指数形式的傅立叶级数,（4.2-14）,2） 指数形式与三角形式傅立叶级数的关系,任意函数,可在区间,内，用指数函数集 表示为：,（4.2-15）,其中，加权系数,式（4.2-15）中，,由式（4.2-15）可知，,。设,，由式（4.2-14）则有,即,对式（4.2-16）与式（4
8、.2-10）进行比较，可得到周期函数,级数与三角形式傅里叶级数之间的关系，即,，,，,，有,（4.2-16）,的指数形式傅立叶,3) 几点说明,4. 周期信号的频谱,周期信号,可以表示为三角级数或虚指数级数的形式，即,或,的振幅谱和相位谱。 解：由题,为周期信号，可认为题中,的表达式就是,傅里叶级数展开式。,的,由,可知，,其基波频率,( rad / s )，基本周期 T = 2 s ，,则分别为,而且，,，,；,，,；,，,；,，,；,，,按以上数据即可画出振幅谱和相位谱，分别如图4.2-7 a、b所示。从频谱图中，可以看出信号,个正弦分量所占的比重。,的二次，三次,和六次谐波频率。,。,包
9、含有哪些正弦分量以及每,2）周期信号频谱的特点,由图4.2-11可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱具有以下三个特点： 离散性：此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，称为离散谱。 谐波性：此频谱的每一条谱线只出现在基波频率,频率上，即只有,的各整数次谐波分量，而没有,波分量。 收敛性：此频谱各次谐波分量的振幅随,的总趋势，是随,的增大而逐渐减小的，当,时，有,以上关于周期矩形脉冲信号频谱的三个特性，即离散性、谐波性和收敛性，是具有普遍意义的，同样适用于其他周期信号。,的整数倍,的非整数次谐,而起伏变化,图4.211 周期矩形脉冲信号的频谱,（4.2-19）,4）关于吉布斯现象 虽然
10、周期信号的傅里 叶级数是无穷项级数，但 在实际应用中，常采用有 限项级数去近似的方法复 现原信号，而由近似产生 的误差则与所选项数的多 少有关，存在吉布斯现象。,图4.2-12表现了用有限项级数近似复现周期矩形脉冲信号与锯齿波信号时所呈现的吉布斯现象。 所谓吉布斯（Gibbs）现象是这样的：当周期信号傅里叶级数的选取项数很多时，总合成信号的峰值将靠近原周期信号的不连续点，且趋于一个常数，这个常数大约为原信号不连续点总跳变值的9 % 。,5）周期信号的功率与有效值 周期信号是一种功率信号，周期信号的平均功率是有限的，而其能量则是无限的。有帕塞瓦尔等式 帕塞瓦尔等式（4.222）表明，周期信号的功
11、率等于直流和各次谐波分量功率之和。 考虑 1电阻上的功率P与电压或电流有效值U、I的关系为 容易得到： 与 。 即周期信号的有效值为各谐波分量有效值的平方和的平方根。,4.2.2 信号的傅里叶变换,当周期矩形脉冲信号的周期,因此可把非周期信号看成是周期,变成连续频谱，不能再用原来傅里叶级数的复振幅来表示其频谱，而必须引入频 谱密度函数的新概念。,时，周期信号就变成非周期的单脉冲信号，,的周期信号，此时，原来的离散频谱将,2. 傅立叶变换的性质,傅里叶变换建立了非周期信号,与频域函数,之间,的对应关系 ，当其中一个函数确定后，另一个函 数就被唯一地确定。在信号分析的理论研究和实际设计的过程 中，
12、经常要研究时域变化对频域变化的影响，或者由频域研究 去分析时域的效果。利用傅里叶变换的性质，不仅可以简化这 种研究、分析的过程，而且物理概念十分清楚。 表4.2-1给出了傅里叶变换的主要性质以便查阅， 其中 。,。,4.2 - 1,3. 周期信号的傅里叶变换,1）周期信号与非周期信号频域分析的统一 由周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换的讨论，得出了周期信号的频谱为离散的振幅谱，而非周期信号的频谱是连续的密度谱的结论。 2） 周期信号的傅里叶变换,例4.23 求图4.2-18 a 所示周期矩形脉冲,解：由题，图4.2-18 a 所示周期矩形脉冲,的频谱函数的复振幅为,由式(4.236)
13、得周期矩形脉冲,的频谱函数为,的傅里叶级数频谱和傅里叶变换频谱分别如图4.2-18 b、c 所示。,的频谱函数。,图4.2-18 周期矩形脉冲信号及其频谱,由图4.2-18 b、c可知：周期信号傅里叶级数的离散幅度谱用点表示，而其傅里叶变换的离散密度谱则用箭头表示。,4.2.3 采样定理,人们最关心的问题是，从模拟信号,中经过采样得到的离散信号,是否包含了,的全部信息？能否由离散信号,恢复得到无失真的原模拟信号 ？,采样定理正是关于这一重要问题的定理，在通信理论中占有很重要的地位。,图4.2-19中，采样器相当于一个定时开关， 每隔,秒开通一次，每次开通的时间为,这样得到的样值信号,是一个离散
14、脉冲序列，其脉冲幅度与相应时刻,的采样值对应。其中，,为采样周期，,为采样频率，,则为采样角频率。实际上，只要由一个周期为 ，,宽度为,的矩形脉冲序列,控制电子采样器的开关，即可实现上述的采样过程。这种每隔,秒实现一次完整采样的方式称为“均匀采样”或“等间隔采样”。,1. 信号的时域采样定理 1）实际采样过程 实际采样过程如图4.2-19所示。,图4.2-19 信号的实际采样过程,秒，,图4.2-19所示的采样过程，从理论上可表述为,与采样脉冲序列,的乘积，即,（4.237）,式（4.237）中的采样脉冲序列,如图4.2-20所示，,可表述为：,（4.238）,图4.2-20 抽样脉冲序列,当
15、,时，不同时移的抽样脉冲即门函数,将趋近于不同时移的冲激函数,，使实际采样脉冲序列,及其相关波形如图4.2-21所示。,，实际采样将成为理想抽样；理想采样过程,图4.2-21 理想采样过程及其相关波形,2）采样定理,连续时间信号,的时域采样定理可以表述为：对于一个频带有限的信号 ，,若其频谱分量的最高频率为,，则只要采样频率,，即可由样值信号,恢复得到无失真的原信号,。或者说，可以由各离散时刻的样值信号,地确定原信号,。因此，只要满足,的条件，样值信号,就包含了原信号,需要指出，对于频带无限的信号,内，而其频谱分量的高频部分所占的比重很小，就可以通过一个截止频率合适的低通 滤波器滤掉其高频分量
16、后，再用两倍或两倍以上低通滤波器截止频率的采样频率对滤 波后的信号进行采样，也同样可由采样信号恢复出原来的信号。 设信号,为频带有限信号，其最高频率为,，最高角频率为,，即当,时，有,。,的波形及其频谱如图4.2-22 a 所示。,唯一,的全部信息。,，只要其主要的频谱分量分布在有限的频带,可导出,由此式可知，样值函数,的频谱,是原信号,频谱,的周期函数，其重复周期为,，其幅度则为,显然，只要满足,，样值函数,的频谱,就不会发生混叠现象。,（4.241）,的 1 / Ts 倍，如图4.2-22c 所示。,3）信号,的恢复（信号重构）,只要满足条件,，样值信号,中就包含了,值信号,恢复原信号 。, 频域恢复：将满足
