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1、自动控制原理（第2版） 孟华 主编,机械工业出版社,第2章 控制系统的数学模型,自动控制原理,2,第2章 控制系统数学模型的建立,2.1 概述 2.2 控制系统微分方程的建立 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 控制系统的信号流图 2.6 控制系统的传递函数,自动控制原理,3,2.1 概述,数学模型: 描述系统各变量之间关系的数学表达式叫做系统的数学模型。 动态模型： 描述系统动态过程的方程式称为动态模型。如微分方程、偏微 分方程、差分方程等。 建立系统数学模型时，应注意： （1）根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系 统数学模型简化，便于数学上的处理。 （2） 根据
2、所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微 分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统数学模型的途径： 理论推导法（演绎法）通过系统本身机理(物理、化学规律)分析确定模型结构和参数，推导出系统的数学模型。 实验测试法（归纳法）根据对系统的观察，由测量得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。,自动控制原理,4,建立系统(或部件)微分方程式的一般步骤： (1)在条件许可下，适当简化，忽略一些次要因素； (2)根据物理或化学定律，列出部件的原始方程式； (3)列出原始方程式中中间变量与其它变量的关系式； (4)从所有方程式中消去中间变量，仅保留系统的输入变量和 输出
3、变量； (5)最后，将微分方程表示成标准形式，即输出变量在左，输 入变量在右，导数阶次从高到低排列。,2.2 控制系统微分方程的建立,自动控制原理,5,举例1 R-L-C电路,要求：列出uc(t)与ur(t)的关系方程式,（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式,（2）消去中间变量i后，得输入输出微分方程式,或,（线性定常二阶微分方程式）,2.2.1 典型控制系统举例,自动控制原理,6,举例2 弹簧质量阻尼器系统,（1）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有,要求：写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式,（2）消去中间变量,B 阻尼系数,代入上式并整理,（线性定常二阶微分方程式）,自动控制原理
4、,7,举例3 电枢控制的直流电动机,电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图,（1）列写原始方程式。电枢回路方程式：,输入电枢电压ua 输出轴角位移q 或角速度w 扰动负载转矩ML,根据刚体旋转定律，写出运动方程式：,（2）Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气 隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有 ，,联立求解，整理后得,自动控制原理,8,（续上页）,若输出为电动机轴的转角q ，则有,（三阶线性定常微分方程）,机电时间常数(秒),电动机电枢回路时间常数(秒) ， 一般比Tm小,或,自动控制原理,9,举例4 磁场控制的直流电动机,设电枢电流Ia=常数,气隙磁通F(t)= Kf i
5、f (t),激磁回路 电感Lf为常值。,（1）激磁回路方程式：,或,（2）转矩平衡方程式：,（3）消去中间变量j, Md ： ，,自动控制原理,10,举例5 电动机转速控制系统,电动机转速控制系统原理图及结构图 w为输出，ur为参考输入，ML为扰动输入 （1）列各部件方程式：,（2）消去中间变量，得：,自动控制原理,11,举例6 流体过程,输入量Qi（供水量） 输出量H （液面高度）,（一阶非线性微分方程式）,（1）设流体是不可压缩的。根据物质守恒定律，可得,（2）求出中间变量Qo与其他变量关系,（3）消去中间变量Qo ，就得输入输出关系式,自动控制原理,12,铁芯线圈电路工作原理 铁芯线圈磁
6、通变化时产生的感应电势：,d(i)/ di是线圈中电流i的非线性函数,根据基尔霍夫定律写出电路微分方程,2.2.2 非线性微分方程的线性化,将(i)在i0附近用泰勒级数展开,当i-i0 足够小时，略去高阶导数项,自动控制原理,13,的增量方程式：,令=(i)-(i0)，i=i-i0，K=(d(i)/ di)i0，便可得到磁通与电流i之间的增量线性化方程,2.2.2 非线性微分方程的线性化（续）,省略偏量符号得：,整理得：,自动控制原理,14,2.3 传递函数,2.3.1 传递函数的概念 RC电路如下：根据克希霍夫定律， 可列写微分方程,消去中间变量i(t)，得,对上式进行拉氏变换,求出Uc(s
7、)的表达式,若uc(0)=0,自动控制原理,15,若线性定常系统由下述n阶微分方程描述,令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，在初始条件为零时，进行拉氏变换，可得到s的代数方程,传递函数定义: 线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。,线性定常系统的传递函数为,2.3.1 传递函数的概念(续),自动控制原理,16,2.3.1 传递函数的性质,(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即mn ，且所有系数均为 实数。 (2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。 (
8、3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因 此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。,(5) 传递函数只能表示输入与输出的函数关系，至于系统中 的中间变量无法反映出来。,(4) 若下式中s = 0，则,称为传递系数(或静态放大系数)。,(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。,自动控制原理,17,2.3.1 典型环节及其传递函数,（1）比例环节 G(s)= K,（3）积分环节,T 惯性环节时间常数,当积分环节的输入信号为单位阶跃函数时，则输出为t/T，它随着时间直线增长。,（2）惯性环节,自动控制原理,18,（4）微分环节 G(s) = T s （理想微分环
9、节 ）,（实际微分环节）,（5） 比例微分环节,wn=1/T为无阻尼自然振荡频率 z为阻尼比，0z1,（6） 振荡环节,（7）延滞环节,2.3.1 典型环节及其传递函数(续),自动控制原理,19,2.4 控制系统的结构图,2.4.1 结构图的概念,RC网络的微分方程式为,自动控制原理,20,控制系统结构图的建立步骤,（1）建立控制系统各元部件的微分方程。在建立微 分方程时，应分清输入量、输出量，同时应考 虑相邻元件之间是否有负载效应。 （2）对各元件或部件的微分方程进行拉氏变换，并 作出各元件的结构图。 （3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各部件 结构图连接起来，置系统输入变量于左端，输
10、出变量于右端。,自动控制原理,21,例1 绘制无源电路的结构图。ur为网络输入，uc为网络输出。,因为(uruc) 为R1与C并联支路的端电压，i1+i2=i，R2i= uc ， 所以,2.4.2 控制系统结构图的建立,自动控制原理,22,例2 两级RC网络的结构图,（2）连接相关信号线，得到最终结构图,（1）根据原始方程建立局部结构图,由于后一级RC电路是前一级的负载，所以在结构图中它们相互影响。,自动控制原理,23,为了消除负载效应，可以在两级RC电路之间插入隔离放大器。,带有隔离放大器的两级RC网络,自动控制原理,24,例3 位置随动控制系统,系统各部分微分方程经拉普拉斯变换后的关系式及
11、相应的局部结构图如下,自动控制原理,25,将每个子方程的结构图按照相互关系，正确地连接起来，得到下图,例3 位置随动控制系统（续）,自动控制原理,26,2.4.3 结构图的等效变换,(1)结构图的基本组成形式 1）串联连接,2）并联连接,自动控制原理,27,3）反馈连接,按照信号传递的关系可写出：,消去E(s)和B(s)，得,因此,此处的加号对应于负反馈；减号对应于正反馈。,2.4.3 结构图的等效变换(续),自动控制原理,28,(2)综合点与引出点的移动 1)综合点的前后移动,a. 综合点前移的 等效变换,b. 综合点后移的 等效变换,2)相邻综合点之 间的移动,2.4.3 结构图的等效变换
12、(续),自动控制原理,29,3)引出点的前后移动,b. 引出点前移的等效变换,4)相邻引出点之间的移动,a. 引出点后移的等效变换,2.4.3 结构图的等效变换(续),自动控制原理,30,(3)结构图变换举例,例1 位置随动系统,2.4.3 结构图的等效变换(续),自动控制原理,31,例2 简化结构图，并求系统传递函数C(s)/R(s) 。,2.4.3 结构图的等效变换(续),自动控制原理,32,例3 化简两级RC网络结构图，并求出传递函数Uc(s)/Ur(s)。,2.4.3 结构图的等效变换(续),自动控制原理,33,简化结构图求总传递函数的一般步骤,(1)确定输入量与输出量，如果作用在系统
13、上的输入量有多个(分别作用在系统的不同部位)，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别处理。 (2)若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的单回路结构。 (3)对于回路可由里向外变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。,自动控制原理,34,2.4.4 信号流图,1.信号流图定义：由节点和支路组成的信号传递网络 信号流图的常用术语： 节点：在图中用小圆圈表示，表示变量（或信号） 支路：是连接相邻两个节点之间的定向线段 ，它有一定的增 益(即传递函数)，称为支路增益 输入节点：只有输出支路没有输入支路的
14、节点称为输入节点 输出节点：只有输入支路没有输出支路的节点称为输出节点 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点 通路：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另 一节点所构成的路径称为通路 前向通路：是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其它 节点相交不多于一次的通路 回路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节 点相交不多于一次的通路称为回路 不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有 任何公共节点，则称为不接触回路,自动控制原理,35,2.由系统结构图绘制信号流图,例 试将下图所示系统的结构图转化为信号流图。,自动控制原理,36,2.4.5 梅逊公式,梅
15、逊公式,式中，P 信号流图的总增益； 称为特征式，,Li所有回路的回路增益之和； LiLj所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和； LiLjLk所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和； n从输入节点到输出节点所有前向通路的条数； Pk从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益； Dk在中，将与第k条前向通路相接触的回路增益除去后 所余下的部分，称为余子式。,自动控制原理,37,应用举例一,自动控制原理,38,4个回路：,1个两两互不接触回路：,3条前向通路和相应余子式：,总增益：,应用举例二,自动控制原理,39,应用举例三,求所示信号流图的增益,图中共有三个回路： L1= -G1G2G3G4H2
16、，L2= -G1G6H2，L3= -G3H1 回路中L2与L3不接触： L2L3=(-G1G6H2)(-G3H1),特征式： D=1- L1 - L2 - L3 + L2L3 =1+G1G2G3G4H2 +G1G6H2 +G3H1 +G1G3G6H1H2,三条前向通路，n=3 第一条：P1=G1G2G3G4，1=1，第二条：P2=G5G3G4，2=1 第三条：P3=G1G6，3=1+G3H1,由梅逊公式可得信号流图的增益（传递函数）,自动控制原理,40,应用举例四,要求：绘制三级RC网络结构图，并求其传递函数Uc/Ur 。,（1）绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系，可以直接绘出网络的结构图：,（2）求传递函数。该结构图有5个反馈回路，回路传递函数均相同，即,有6组两两互不接触回路，为-
