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1、计算机图形学基础,第7章 曲线和曲面,本章主要内容,曲线曲面基础 数学描述的发展，表示要求 参数化表示的优点 插值与拟合 连续性条件 三次样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 NURBS曲线,我们需要曲线曲面?,Geri,Geris model,Geris game,3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾,第7章 曲线和曲面,7.1 背景 离散点近似决定曲线曲面。 计算机辅助几何设计（CAGD，Computer Aided Geometric Design） 曲线曲面基础 数学描述的发展，表示要求 参数化表示的优点 插值与拟合 连续性条件 7.2 三次样条曲线/曲面 7.3 Bezier
2、曲线/曲面 7.4 B样条曲线/曲面 7.5 NURBS曲线,参数曲线基础,自由曲线 一.概述 曲线：规则曲线可用曲线方程式表示的曲线。 不规则曲线不能确切给出描述整个曲线的方程，而是由从实际测量中得到的一系列离散数据点采用曲线拟合的方法来逼近的。这类曲线也称之为自由曲线。 曲线的表示方法： 1. 直角坐标曲线 显式 y = f(x) 隐式 f(x,y) = 0 2. 极坐标曲线 =() 3. 参数坐标曲线 x = x(t); y = y(t) 参变量的规范化 曲线的绘制方法：用很多短直线段来逼近曲线。曲线上点的数量取多少，直线段取多长，取决于绘制曲线的精度要求和图形输出设备的精度。,曲线曲面
3、的表示形式,显式表示 z = f (x, y),隐式表示 f (x, y, z) = 0,参数表示 x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (x, y),常用生成方法： 插值生成的曲线经过每个数据点，如：多项式插值（常见三次多项式）、样条函数插值，Hermite曲线等； 逼近生成的曲线靠近每个数据点（不一定通过每个点），如：Bezier曲线，B样条曲线,7.1.2 拟合 插值和逼近,型值点指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。 控制点指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。 插值和逼近 曲线曲面设计中的两种不同方法。
4、插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型，严格通过已知的每一个型值点。 逼近设计方法建立的曲线曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。 拟合：是指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。,7.1.2 插值与拟合,插值 拟合,Example control points. Joining the control points gives the control polygon.,P1,P0,P2,P3,P1,P0,P2,P3,插值与拟合,插值 Interpolating (through the control points). 拟合 Approximating
5、 (near the control points).,P1,P0,P2,P3,P1,P0,P2,P3,通过移动控制点形成不同的曲线,Edit curves by moving control points (click and drag): Original curve. Curve after P2 is moved. 实现交互控制，生成曲线: 画控制点； 看看曲线的生成结果； 调整控制点直到最佳。,P1,P0,P2,P3,P1,P0,P2,P3,7.1.3曲线曲面数学描述的发展,1963年，波音，将曲线曲面表示为参数的矢函数方法（参数三次曲线） 1964，Coons曲面 1964，样条函
6、数 1971，Bezier控制多边形定义曲线（法，雷诺汽车） 1972，De Boor，B样条标准算法 80年代，非有理B样条（NURBS）,7.1.4曲线曲面的表示要求,在计算机内表示曲线曲面，其形状的数学描述应保留产品的形状的尽可能多的性质。 满足要求：,惟一性 几何不变性 易于定界 统一性 易于光滑连接 几何直观,惟一性,形状定义 由已给定的有限信息，决定的形状是惟一的。（传统上采用：模线样板法是按模拟量传递，不能保证形状定义的惟一性）,几何不变性,当用有限的信息决定图形时，如4点决定一条3次曲线，当这些点的相对位置固定后，形状也就固定的，不应该随坐标系更改而改变。 如果采用的数学方法不
7、具有几何不变性，则不同测量坐标系测得的同一组数据点，会得到不同的拟合曲线。,几何不变性,易于定界,工程中，曲线曲面的形状总是有界的，形状的数学描述应该易于定界。 可用：参数方程表示,统一性,能统一表示各种形状及处理各种情况（包括特殊情况），如曲线描述，用统一的形式表平面曲线、空间曲线。 统一性的高要求是，用统一的数学形式既能表示自由型曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，建立统一数据库，便于形状信息的传递和产品数据交换。,易于光滑连接,单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，需要将若干线段连接成为光滑曲线（曲面片连接为组合曲面）。其连接必须是光滑的。,几何直观,几何意义明显,7.1.4曲线和曲面
8、的表示,有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一个矢量，此矢量称为位置矢量。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间曲线是空间动点运动的轨迹，也就是空间矢量端点运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：,曲线曲面表示方法： 非参数形式 f(x,y,z)=0 参数形式 p(t)=(x(t),y(t),z(t) 规范化区间： 若t的区间a,b t=(t-a)/(b-a)0,1,7.1.4曲线和曲面的表示,参数化表示的优点,点动成线（t可看为时间，曲线成为随时间而动的轨迹） 几何不变性 可以表示无穷大斜率 用规格化参数变量 ,此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为：,规范化区间,若t的区间：a,b，如果
9、把它转换为0,1 ，如何做？ 方法（相似性，比例不变）： （例：区间5，8，通过仿射变换到区间 0,1） 解： t=(t-a)/(b-a) , 则 t 0,1,参数表示的优点,1)有更大的自由度控制曲线曲面的形状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换； 3) 可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间中；,5)便于采用规格化的参数变量 如：区间 a,b （如区间5，8）可由区间 0,1通过仿射变换得到 。 直线上的插值点可以下两式表示 变换为： 6)易于用矢
10、量和矩阵表示几何分量，简化计算；,7.1.5连续性条件,多条曲线首尾相连形成一条曲线，要求：连接处具有合乎要求的连续性。 参数连续性 用 C 阶数表示 几何连续性 用 G 阶数表示,两曲线段的连接,Examples: These two curves do not fit together at all. These two curves fit together, but not smoothly. These two curves fit together smoothly.,曲线段间的连续性定义,参数连续性 : C0连续（0阶参数连续） 前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。 C1连续
11、（一阶参数连续） 连接点处 一阶导数 相同。 C2连续（二阶参数连续） 连接点处一阶导数和二阶导数 相同。,曲线段间的连续性定义,几何连续性 : G0连续（0阶几何连续） 与C0连续相同。 G1连续（一阶几何连续） 一阶导数在相邻段的交点成比例，（切向量不一定相等）。 得出结论： C1连续，则G1连续，反之不然 G2连续（二阶几何连续） 两相邻曲线段的连接点处一阶导数和二阶导数均成比例（此时，两曲线段在交点出的曲率相等）。,参数连续性与几何连续性的区别,参数连续性 传统意义上的、严格的连续 几何连续性 只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例，不必完成相等，是一种更直观、易于交互控制的连续性
12、。,样条的插值,样条的插值 一般：进行分段插值（三次曲线，不高不低） n+1个控制点将线段分n段，每段有4个待定系数。 通过线段交点处，设置边界条件求出。,7.2.1 曲线的参数空间： 笛卡儿坐标x,y,z定义的三维空间，其参数空间为(x,t)、(y,t)、(z,t)，能把任意一条参数曲线分解成参数空间的三个分量。 x(t)= y(t)= z(t)=,t的取值范围：0，1,7.2 三次样条曲线与调和函数（基函数）,三次样条曲线推导,简化为： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （式一） p(t)= （写出 ） p0= , p1= , p0= , p1 = 。（式二） 将式二代入式一，解得： D
13、 = C= B= A= 将A、B、C、 D分别代入式一中,整理得: p(t)=( ？) p0+ ( ？ ) p1+ ( ？) p0+ ( ？) p1,(t 0，1 ),三次样条曲线推导,简化为： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （式一） p(t)= （写出 ） p0= , p1= , p0= , p1 = 。（式二） 将式二代入式一，解得： D = p0 C= p0 B=-3p0 +3 p1 -2 p0 - p1 A= 2 p0 -2 p1 + p0 +p1 将A、B、C、 D分别代入式一中,整理得: p(t)=(2t3-3t2+1) p0+ (-2t3+3t2) p1+ (t3-2t2+
14、t) p0+ (t3-t2) p1 F1(t) F2(t) F3(t) F4(t),(t 0，1 ),调和函数（基函数） 开始出现于从代数形式到几何形式的推导中。,调和函数: F1(t) = 2t3-3t2+1 F2(t) = -2t3+3t2 F3(t) = t3-2t2+t F4(t) = t3-t2 参数三次（pc）样条曲线几何形式可以表示为： p(u)=(2u3-3u2+1) p0+ (-2u3+3u2) p1+ (u3-2u2+u) p0+ (u3-u2) p1 简化： p(u)=F1 (u) p0+ F2 (u) p1+ F3 (u) p0+ F4 (u) p1,表示该曲线：两点的
15、坐标及其一阶导数+调和函数， u的取值范围：0，1,通常，用基函数和控制点信息来决定一条该曲线,7.2.2 三次Hermite样条曲线 （插值方法）,上例产生的是： 三次Hermite（法国数学家命名）样条曲线： 几何意义： 由两个端点（Pk 、Pk+1）和端点切矢（Rk 、Rk+1 ）来定义。,p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t),p(0)= Pk p(1)= Pk+1 p (0)= Rk p (1)= Rk+1,7.2.2 三次Hermite样条曲线 （插值方法）,Hermite样条曲线调和函数 H0(t)=2t3-3t2+1 H1(t)=-2t3+3t2 H2(t)=t3-2t2+t H3(t)=t3-t2 起点坐标 终点坐标 起点导数 终点导数,p(t)= Pk H0(t)+ Pk+1 H1(t)+ Rk H2(t)+ Rk +1 H3(t),Pk = p(0) Pk+1 = p(1) Rk = p (0) Rk+1 = p (1),可以看作：是矢量 Pk 、 Pk+1 、 Rk 、 Rk +1 的加权和。
