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1、第四章 曲线和曲面,第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面,第一节 曲线和曲面表示的基础知识,曲线和曲面参数表示 （1）与坐标轴相关的，不便于进行坐标变换； （2）会出现斜率为无穷大的情况； （3）难以灵活地构造复杂的曲线、曲面 （4）非参数的显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面的交线。 （5）假如我们使用非参数化函数，在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值，而一些y值对应多个x值。,在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数t的一个函数式，则
2、曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：,，,把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：,关于参数t的切矢量或导函数是：,曲面的参数方程形式为:,曲线或曲面的某一部分，可以简单地用atb界定它的范围。,直线段 端点坐标分别是 P1x1,y1,P2x2,y2 直线段的参数表达式是： P(t)= P1+( P2- P1)*t = (1-t)P1+ tP2 0t1； 参数表示相应的x,y坐标分量是： x(t)= x1+(x2-x1)*t y(t)= y1+(y2-y1)*t 0t1,参数方程具有如下优点: (1) 对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。 (2)
3、便于处理斜率为无限大的问题。 (3) 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。 (4) 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。,(5) 规格化的参数变量t0,1,使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述易于实现光顺连接。 (6) 易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。,曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多
4、边形来控制形状，称为是逼近的曲线或曲面。,基本概念,插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。,参数连续性 一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。 几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk 。零阶几何连续G0与零
5、阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。,光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。,第二节 Hermite多项式,已知函数f(t)在k+1个点ti处的函数值和导数值f (j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求确定一个N = m0 + m1 + + mk - 1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：,考查k=
6、1，m0 = m1 = 2的情形 已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0), f(t1)和一阶导数值f(t0), f(t1)，求三次多项式P(t):,把a0，a1，a2和a3代入则有：,经整理，所求多项式P 0(t)可以写出如下：,式中选取两个端点及其及其切向量作为曲线构造条件 混合函数如下：,设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点t0，t1，t2，t3的函数值f(t0), (t1),f(t2), f(t3)，根据Lagrange插值法，则三次多项式P(t)可表示为：,选择四个不同的点作为构造曲线的条件,混合函数如下：,经验证可知：,为了使P0(t)的定义区间t0t
7、t1变为区间0u1，可以做如下变换,解出 ，代入混合函数式中，得：,将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：,令,得,对一般的Hermite插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较高，应用起来不方便。通常的处理办法是将前面给出的参数的三次多项式逐段光滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。 将前面t0和t1视为ti和ti+1，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间ti，ti+1的Hermite三次插值多项式Pi(t)是：,为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间t0，tn中引入如下一些基本函数：,完整的插值多项式可写为：,上式在区间t0，tn中有定义，
8、且为分段定义。在每个区间 ti，ti+1上，都恰有四项。满足插值条件,每段曲线Pi(t)只在ti，ti+1中有定义：,自变量的线性变换,用逆变换 代入，将所得关于u的多项式记为 ，得,其中 = =,设在平面上有两点P0，Pl，它们的位置向量分别为(1，1)，(4，2)，在P0的导数值即在该点的切线向量P0 =(1，1)，在Pl处P1 =(1，-1),第三节 Coons曲面,uw表示了曲面片的方程 0w，1w，u0，u1表示四条边界曲线 u0u表示在边界线u0上的点沿u向的一阶偏导数向量，称边界线的切向量 u0w表示边界线u0上的点沿w向的一阶偏导数向量，称边界线的跨界切向量。 uwuu ，uw
9、uw，uwww分别表示曲面片uw关于u和w的二阶偏导数向量，于是u0uu表示边界线u0上的二阶切向量，u0ww表示边界线u0上的二阶跨界切向量。,uwuw为曲面片P在点(u,w)处的扭曲向量。特别，用00，01，10，11分别表示曲面片四个角点时，00uw，01uw，10uw，11uw就分别表示在四个角点的扭曲向量。,构造具有指定边界曲线的曲面片 Coons给出的一个解法： 寻找两个混合函数f0(t)和f1(t)，它们是连续的，并且满足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1， 0t1。 利用这样的混合函数，通过四条边界构造曲面片，并通过叠加
10、修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。,若给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w，且0u1，0w1 在u向进行线性插值，得到直纹面为,在w向进行线性插值，得到直纹面为：,若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面Ps(u,w)：,Ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两个部分，一部分是由于线性插值而产生的位移，另一部分是由于边界曲线而产生的位移 。,为消除Ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面P3(u,w),构造曲面P3(u,w)后，从Ps(u,w)中去除P3(u,w)，即去除线性插值的成分，则得到Coons构造曲面 P(u,w)= Ps(u,w) -P3(u,w) =P1
11、(u,w)+ P2(u,w)- P3(u,w) 可写成如下形式：,其中矩阵M是：,矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，可用已知四条边界曲线计算求出。 u0，u1可以是关于u的三次多项式，0w，1w可以是关于w的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于u或w的三次多项式，这时公式关于u看，或关于w看，都是三次多项式，是关于u或w的双三次多项式,不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证0w是它的一条边界线，这只要把u=0代入公式右端，得,曲面片以指定的曲线为其边界曲线，且有指定的跨界切向量 。 利用本章第二节定义的四个混合函数q00(t), q01(t), q10(t), q11(t)。这四
12、个函数均是三次多项式 ，连续可微，并且还满足下面的条件：,设已经给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w及沿这四条边界曲线的跨界切向量u0w，u1w，0wu，1wu。 这时可以计算求得四个角点的位置向量00，01，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，可以写出符合要求曲面片的数学表达式如下：,容易地验证所写出的公式满足要求，例如以u=0代入该式右端，得：,曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对u求导，然后再代入u=0，这时有,指定四个角点以及在这些点上的切向量和扭曲向量
13、后，求解曲面的表达式。 已知角点位置向量00，10以及在这两点关于u的切向量00u和10u，可以用Hermite插值公式来指定一条u边界线：,将上两式代入前式，就可以得到：,给出四个角点以及在该角点上的切向量和扭曲向量来构造Coons曲面表达式。设在平面上有四点P0，Pl，P2，P3，它们的位置向量分别为(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。该四点的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点的信息矩阵M中,第四节 Bezier曲线和曲面,Bezier曲线 给出型值点P0，P1，Pn，它们所确定的n次Bezier曲线是：,涉及到的0!及00，按
14、约定均为1。 在n=1时,公式成为：,在n=2时，公式成为：,在n=3时，公式成为：,Bezier曲线的一些重要性质,P(0)= P0，P(1)= P1，曲线通过所给出型值点列的起点和终点。,Bezier曲线的对称性,曲线的凸包性 对给定的型值点P0，P1，Pn点集,分段的三次Bezier曲线光滑连接,设给出两个Bezier多边形P0P1P2P3和Q0QlQ2Q3，显然，使所决定的两条Bezier曲线在连接点处连续的条件是P3=Q0。 Bezier曲线在连接点处G1连续，即一阶导数几何连续，就要求Q0=aP3，这里a应该是一个正数。由前面的公式，知Q0=3(Q1Q0)，P3=3(P3P2)，因
15、此可知使在连接点处G1连续的条件是：,由此得,连接点处达到C2连续，即二阶导数参数连续的条件 对前面的公式求两次导数，可得，,于是知， 要求， 即 ，注意到Q0=P3，由此得：,绘制Bezier曲线时，可以利用其定义式，对参数t选取足够多的值，计算曲线上的一些点，然后用折线连接来近似画出实际的曲线。随着选取点增多，折线和曲线可以任意接近。 假设给定的四个型值点是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，则计算结果见表,绘制Bezier曲线的方法,几何作图法 分裂法,记点Pk，Pk+1，Pk+l可以生成的Bezier曲线为Pk,l(t)，0t1，则成立下面的递推关系：,证明上式，要用到组合等式：,上式改写为：,void bez_to_points(int n,int npoints,double P,double points) / P为控制点坐标 points为采用几何作图算法生成的Bezier曲线上的离散点序列 离散点序列points的个数为npoints 控制点P的个数为n +1 double t,delt; delt=1.0/(double)npoints;/将参数t npoints等分 t=0.0; for(int i=0;i=npoints;i+) pointsi=de
