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1、第5章 控制系统的频域分析,频域分析法主要适用于线性定常系统，是分析和设计控制系统的一种实用的工程方法，应用十分广泛。它克服了求解高阶系统时域响应十分困难的缺点，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的稳定性，分析系统参数对系统性能的影响，在控制系统的校正设计中应用尤为广泛。,5.1频率特性 1:频率特性的基本概念,对于图示一阶系统，系统的闭环传递函数为：,若输入为正弦信号，即：r(t)=R0sint，则：,经拉氏反变换，得：,系统的输出c(t)由两项组成，第一项为瞬态分量，其值随着时间的增长而趋于零，第二项为稳态分量，它是一个频率为的正弦信号。当时间t趋于无穷时，稳态分量即为系统的稳态输出
2、，说明在正弦信号作用下系统的稳态输出为一个频率为的正弦信号。,可以证明，对于一个稳定的线性定常系统，在其输入端施加一个正弦信号时，当动态过程结束后，其输出（频率响应）是一个与输入信号同频率的正弦信号，该正弦信号的幅值和相位是输入信号频率的函数。,证明:对于图示一般线性定常系统，可列出描述输出量c(t)和输入量r(t)关系的微分方程：,与其对应的传递函数为,拉氏反变换，可求得系统的输出为,稳态分量为,对于稳定的系统,瞬态分量随着时间的增长而趋于零，稳态分量CS(t)即为系统的稳态响应. 可见在正弦信号作用下,系统的稳态输出也是同频率的正弦信号.,可以定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频
3、特性A(),相位之差为相频特性(),则有:,线性定常系统的频率特性包括幅频特性和相频特性,通常用复数来表示,即,显然，只要在传递函数中令s=j即可得到频率特性。可以证明，稳定系统的频率特性等于输出量富氏变换与输入量富氏变换之比。,对于不稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，其输出信号的瞬态分量不可能消逝，瞬态分量和稳态分量始终存在，系统的稳态分量是无法观察到的，但稳态分量是与输入信号同频率的正弦信号，可定义该正弦信号的幅值与输入信号的幅值之比为幅频特性A(),相位之差为相频特性()。据此可定义出不稳定线性定常系统的频率特性。,频率特性和传递函数、微分方程一样，也是系统的数学模型,例5-1,若输
4、入信号r(t)=2sin2t，试求系统的稳态输出和稳态误差。,单位负反馈系统的开环传递函数为,解,容易判断，所给系统是稳定的。在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差也是正弦信号，本题可以利用频率特性的概念来求解。,即：A(2)=1, (2)=-90,因此稳态输出为 CS(t)=2A(2)sin(2t+(2)= 2sin(2t-90)。,在计算稳态误差时，可把误差作为系统的输出量，利用误差传递函数来计算，即：,因此稳态误差为：,从例5-1可以看出，在正弦信号作用下求系统的稳态输出和稳态误差时，由于正弦信号的象函数R(s)的极点位于虚轴上，不符合拉氏变换终值定理的应用条件，不能利
5、用拉氏变换的终值定理来求解，但运用频率特性的概念来求解却非常方便，需要注意的是，此时的系统应当是稳定的。,2:频率特性的几何表示,在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线，从频率特性曲线出发进行研究。这些曲线包括幅频特性和相频特性曲线，幅相频率特性曲线，对数频率特性曲线以及对数幅相曲线等。,幅频特性和相频特性曲线是指在直角坐标系中分别画出幅频特性和相频特性随频率变化的曲线，其中横坐标表示频率，纵坐标分别表示幅频特性A()和相频特性()。,例如设：,表5-1,幅相频率特性曲线简称幅相曲线，是频率响应法中常用的一种曲线。其特点是把频率看作参变量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示在复数平
6、面上，例如按表5-1所示频率特性数据，可画出幅相曲线如图5-5所示，,幅相曲线中常用箭头方向代表增加时，幅相曲线改变的方向。这种画有幅相曲线的图形称为极坐标图。,对数频率特性曲线又称伯德曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率响应法中广泛使用的一组曲线。这两条曲线连同它们的坐标组成了对数坐标图或称伯德图。,对数频率特性曲线的横坐标表示频率，并按对数分度.所谓对数分度，是指横坐标以lg进行均匀分度，即横坐标对lg来讲是均匀的，对而言却是不均匀的，如图5-6所示。从图中可以看出，频率每变化十倍（称为一个十倍频程），横坐标的间隔距离为一个单位长度。横坐标以标出，一般情况下，不应标出=0的点（因为
7、此时lg不存在）。若2位于1和3的几何中点，此时应有lg2-lg1=lg3- lg2，即22=13.,对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的数值，均匀分度，单位是分贝，记作db，对数幅频特性定义为L()=20lgA()；对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的数值，均匀分度，单位是度。,图5-7是(j)=1/(1+jT)的对数幅频和对数相频曲线。,频率响应法中见到的另一种曲线是对数幅相曲线(又称尼可尔斯曲线),对应的曲线图称为对数幅相图(又称尼可尔斯图)。 对数幅相图的特点是以为参变量,横坐标和纵坐标都均匀分度，横坐标表示对数相频特性的角度，纵坐标表示对数幅频特性的分贝数，图5-8是1/(1
8、+jT)的对数幅相曲线。,3.频率特性与时域响应的关系,设线性定常系统的输入和输出均满足狄里赫利条件，并且绝对可积，则可求得其富里叶变换：,根据频率特性的定义，若系统的频率特性为(j)，有: C(j)=(j)R(j) 富里叶反变换,即可求得系统的时域响应。 例如系统的单位脉冲响应为：,一般情况下，当输入信号为r(t)时，系统的响应可用卷积分求得：,5.2典型环节的频率特性,通常线性定常系统的开环传递函数可看作是由一些典型环节串联而成，这些典型环节包括： 比例环节K；惯性环节1/(1+Ts)，T0；一阶微分环节1+Ts，T0； 积分环节1/s；微分环节s； 振荡环节1/(s2/n2+2s/n+1
9、)，n0,00,01。 在系统的开环传递函数中，还可能出现(Ts-1)、(s2/n2-2s/n+1)以及1/(Ts-1)、1/(s2/n2-2s/n+1)等，习惯上，把这些环节称为不稳定环节，即 不稳定惯性环节1/(Ts-1)，不稳定振荡环节1/(s2/n2-2s/n+1)，不稳定一阶微分环节(Ts-1), 不稳定二阶微分环节(s2/n2-2s/n+1)，系统中还可能出现延迟环节e-S。,1.比例环节,比例环节的传递函数为常数 G(s)=K 其频率特性为： G(j)=K,比例环节的幅频特性和相频特性的表达式为：,相应的对数幅频特性和相频特性为：,2.惯性环节,惯性环节的传递函数为1/(1+Ts
10、)，其频率特性为：,在绘制幅相曲线时，注意在由0变化时，惯性环节1/（1+jT）的幅值由1变化到0，相角由0变化到-90，据此可以画出惯性环节幅相曲线的大致形状。通过逐点计算，可以画出惯性环节幅相曲线的精确曲线。可以证明, 惯性环节的幅相曲线为半圆。,惯性环节的对数幅频特性和相频特性为：,可以通过计算若干点的数值来绘制惯性环节的对数幅频特性和相频特性的精确曲线。,工程上，此环节的对数幅频特性可以采用渐近线来表示。,定义1=1/T为交接频率，渐近线表示如下： L()=0 1时，,从渐近线的表达式可以看出，在1时，L()与lg成线性关系，由于在伯德图中，横坐标是以lg线性分度的，故为一条斜率为-2
11、0db/(十倍频程)(记为-20db/dec)的直线(即每增加十倍，对数幅频特性下降20db)。 为方便起见，在1的区段，惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线取为一条斜率为-20db/dec的直线，两段渐近线在交接频率1处相交，如图5-10所示。,对数相频特性曲线的绘制没有类似的简化方法。只能给出若干个值，逐点求出相应的() 值，然后用平滑曲线连接。有时，也可以采用预先制好的模板绘制。对数相频特性曲线如图5-10所示。,交接频率1也称为惯性环节的特征点，此时A(1)=0.707, L(1)= -3db, (1)=-45。,对数幅频特性曲线渐近线与准确曲线之间存在误差，若规定误差L()为准确值减去近
12、似值，可得到L()的表达式如下：,由此可制作出误差曲线, 必要时可利用误差公式或误差曲线来进行修正，最大的误差发生在交接频率1处，其值为-3db。,3.一阶微分环节,一阶微分环节的传递函数为1+s，其频率特性为：,一阶微分环节的幅频特性和相频特性的表达式为：,注意到向量1+j在由0变化时，其幅值由1变化到，而相角由0变化到90,其实部始终为1，一阶微分环节的幅相曲线如图5-11所示。,一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性为：,工程上，此环节的对数幅频特性可以采用渐近线来表示。定义1=1/为交接频率，渐近线表示如下：,L()=0 1 时，,从渐近线的表达式可以看出，在1部分渐近线为一条斜率为+2
13、0db/dec的直线，两段渐近线在交接频率1处相交。,一阶微分环节对数幅频特性的精确曲线与近似曲线之间存在误差，必要时应进行修正，最大的误差发生在交接频率 1处，其值为3 db。 交接频率1也称为一阶微分环节的特征点，此时A(1)=1.414, L(1)=3 db, (1)=45。,类似于惯性环节，可以构造一阶微分环节对数幅频特性近似曲线,比较惯性环节和一阶微分环节可以发现，它们的传递函数互为倒数，而它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴，这是一个普遍规律，即传递函数互为倒数时，对数幅频特性和相频特性对称于横轴。,若,则,对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线对称于横轴,积分环节,积分环节的传递
14、函数是1/s，其频率特性为：,其幅相曲线如图所示，显然由0变化时，其幅值由变化到0，而相角始终为-90。,积分环节的幅频特性和相频特性的表达式为：,积分环节的对数幅频特性和相频特性为：,由图可见，其对数幅频特性为一条斜率为-20db/dec的直线，此线通过=1，L()=0 db的点。相频特性是一条平行于横轴的直线，其纵坐标为-/2。,.微分环节,微分环节的传递函数是s， 其频率特性为：,微分环节的幅频特性和相频特性的表达式为：,微分环节的对数幅频特性和相频特性为：,由图可见，其对数幅频特性为一条斜率为+20db/dec的直线，此线通过=1，L()=0 db的点。相频特性是一条平行于横轴的直线，
15、其纵坐标为/2。,积分环节和微分环节的传递函数互为倒数，它们的对数幅频特性和相频特性则对称于横轴。,6.振荡环节,传递函数,n0，01,频率特性：,幅相曲线的起点为G(j0)=1/0,终点为G(j)=0/-180。当由0变化时，A()由10，() 由0-180变化, 据此可以画出振荡环节幅相曲线的大致形状。图上以无因次频率=/n为参变量。由图可见,无论多大, =1(即=n)时,相角都等于-90而幅值为1/2。,幅频特性和相频特性的解析表达式分别为：,由曲线可知，小于某个值时，幅频特性出现谐振峰值Mr，峰值对应的频率称为谐振频率r, r=r/n 叫做无因次谐振频率。r 随减小而增大，最终趋于1。,谐振频率,谐振峰值,对于振荡环节来说，阻尼比越小，Mr越大，系统的单位阶跃响应的超调量也越大；反之，阻尼比越大，Mr越小，超调量也越小。可见，Mr直接表征了系统超调量的大小，故称为振荡性指标。,振荡环节的对数幅频特性和相频特性为:,在绘制对数幅频特性曲线时,注意到其渐近线可表示如下：,L()=0 n,即在n时渐近线是一条斜率为-40db/dec的直线,它和0db线交于横坐标=n的地方。因为自然频率n是两条渐近线交接点的频率，故称为振荡环节的交接频率。,类似于惯性环节的做法，振荡环节对数幅频特性
