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1、第3章 控制系统的时域分析,时域分析法是直接在时间域中对系统性能进行分析的方法。在系统输入端施加一个典型输入信号，根据系统的微分方程或传递函数，求出系统的输出，并依据输出来分析系统的性能。时域分析法具有直观、准确的优点。 本章采用时域分析法从稳定性、瞬态性能（动态性能）和稳态性能三个方面来分析控制系统的性能。,3.1 引言,对于单输入、单输出线性定常系统,两边进行拉氏变换,系统响应=零状态响应+零输入响应,可见系统响应既与输入信号的大小及形式有关，也与系统的初始状态（或初始条件）有关。在用时域分析法研究控制系统时，为了分析和比较系统性能的优劣，通常对初始状态和输入信号作一些典型化处理。,一：典
2、型初始状态,即零状态,典型初始状态表明在输入信号作用于系统之前，输出量相对于平衡工作点的增量为零，其各阶导数也为零，系统处于相对静止状态。,典型输入信号是众多而复杂的实际输入的近似和抽象，它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于实验验证。 所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。常用的典型输入信号有以下几种：,1：单位阶跃函数,二：典型输入信号,2：单位斜坡函数,3：单位加速度函数,4：单位脉冲函数,5：正弦函数,三：典型时间响应,初始状态为零的系统，在典型输入信号作用下的输出，称为典型时间响应。典型时间响应由动态过程和稳态过程两部分组成
3、。,动态过程：动态过程又称过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统输出由初始状态到达最终状态的响应过程。 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现形式。,控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。,四：动态性能与稳态性能,描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。,1：延迟时间，指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。,2：上升时间，指响应曲线从终值10%上升到终值90%所需要的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系
4、统响应速度的一种度量。,3：峰值时间，指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。 4：调节时间，指响应达到并保持在终值5%（或2%）内所需要的时间。 5：超调量，指响应的最大偏离量h(tp)与终值h()之差的百分比，即：,稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷大时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,3.2 一阶系统的时域分析,一阶系统的结构图如图所示，其开环传递函数为,闭环传递函数为,一：一阶系统的数学模型,用一阶微分方程描述的系
5、统称为一阶系统。,二：一阶系统的响应,1：单位阶跃响应,根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：,一阶系统跟踪阶跃输入信号时无稳态误差。_无静差系统,另外有,2：单位脉冲响应,3：单位斜坡响应,说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差为T。,4：单位加速度响应,说明一阶系统无法跟踪加速度输入信号。,5：四种响应的关系,为积分环节或微分环节,一般结论：某输入信号的积分（或微分）作用于线性定常系统后的响应等于该输入信号作用于系统后的响应的积分（或微分）。,一阶系统的单位加速度响应对时间的导数等于其单位斜坡响应，单位斜坡响应对时间的导数等于其单位阶跃响应，单位阶跃响应对时间的导数等于其
6、单位脉冲响应。,例3-1：,一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈系数应如何调整？,解：,系统的闭环传递函数为：,这是一个型一阶系统，调节时间ts=3T=0.3秒。,若要求调节时间ts=0.1秒，可设反馈系数为，则系统的闭环传递函数为：,例3-2：,已知某元部件的传递函数为：,采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来的0.1倍，但总放大系数保持不变，试选择KH、K0的值。,解：,原系统的调节时间为,引入负反馈后，系统的传递函数为：,若将调节时间减至原来的0.1倍，但总放大系数保持不变，则：,3.3二阶系统的时域分析,一：二阶系统的数学模型
7、,二阶系统的动态结构图如图所示，其开环传递函数为：,闭环传递函数为：,根据的取值，可把系统分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况进行分析。,特征方程,特征方程式的根为,二：二阶系统的单位阶跃响应,的二阶系统是不稳定的。,1：欠阻尼情况（01）,系统的特征方程为,闭环极点为共轭复数：,极点分布如图所示。图中：,h(t)包含稳态分量和动态分量，其稳态分量为1，动态分量呈现振荡衰减特性，注意到h(t)的包络线为：,1）上升时间：,2）峰值时间：,3）超调量：,4）调节时间：,稳态误差为0，说明二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。在绘制h(t)曲线时，应注意到：,(5%),(2%)
8、,第一，超调量的大小只取决于阻尼比,第二，调节时间的计算公式为近似表达式。,工程上把,=0.707时的二阶系统称为最佳二阶系统，,2：临界阻尼情况（=1）,系统的特征方程为：,闭环极点为重极点：,响应具有非周期性，没有振荡和超调， 该响应曲线不同与一阶系统的单位阶跃响应，,动态性能指标为：,稳态误差为0，说明二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。,3：过阻尼情况（1）,系统的特征方程为：,闭环极点为两个负实数极点：,若令,则,响应具有非周期性，没有振荡和超调，其响应曲线如图所示。 该响应曲线不同与一阶系统的单位阶跃响应，,稳态误差为0，说明二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态
9、误差，系统为无静差系统。,在所有无超调的二阶系统中，临界阻尼时，响应速度最快。,例3-3：,系统结构如图所示，分别计算开环增益,解：,1、2、5、10时，,系统的超调量和调节时间。,系统为过阻尼情况，不存在超调，,系统为过阻尼情况，不存在超调，,为最佳二阶系统，,本例说明，随着开环增益的增加，系统的阻尼比将逐渐减小。在过阻尼情况下，开环增益的增加会使调节时间减小，加快系统响应速度；在欠阻尼情况下，开环增益的增加会使系统阻尼比减小，超调量增加，使系统响应的平稳性变差。,例3-4：,图示系统，要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于1秒，求开环增益K。,解：,根据题意，应选择=1，系统的开环传递函数
10、为：,例3-5,二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示，求系统的传递函数,解,三:二阶系统的单位脉冲响应,由于单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的导数，对不同阻尼比下的单位阶跃响应表达式求导，可以得到二阶系统的单位脉冲响应。,四:二阶系统的单位斜坡响应,瞬态分量为衰减振荡形式,1. 欠阻尼二阶系统,2. 临界阻尼二阶系统,3. 过阻尼二阶系统,五：二阶系统性能的改善,在单位阶跃信号作用下，系统将产生超调。 因为在0，t1时间内，e(t)为正，系统输出c(t)增加，这种增加一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调， e(t)不能过大，在0，t1时间内，给e(t)加入一个附加的负信
11、号，有利于减小超调； 在t1，t2时间内，系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势，若在t1，t2时间内，给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；,在t2，t3时间内，c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，同时有可能使c(t)出现反向超调，在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调； 在t3，t4时间内，c(t)出现反向超调，e(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调，在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调。,通过以上分析，要减小超调量，可以给e(t)加入一个附加信号，其极性要求为：0，t
12、1：“-”、t1，t2：“-”、t2，t3：“+”、t3，t4：“+”，经分析，e(t)的导数和-c(t)的导数的极性符合要求。于是采用比例-微分控制、测速负反馈控制可减小系统的超调量。,1：比例-微分控制,比例-微分控制时系统结构图如图所示，系统的开环传递函数为：,闭环传递函数为：,阻尼比为：,可见，采用比例-微分控制，增加了系统的阻尼比，使系统超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然频率。,需要注意的是，采用比例-微分控制后，系统为有零点的二阶系统，性能指标计算公式为：,设：,1）峰值时间,2）超调量,3）调节时间,2：测速反馈控制,系统的开环传递函数为：,闭环传递函数为
13、：,阻尼比为：,可见，测速反馈控制不影响系统的自然频率，增大了系统的阻尼比，减小了系统的超调量，另外，测速反馈控制降低了系统的开环增益，从而加大了系统在斜坡信号作用下的稳态误差。,3：比例-微分控制与测速反馈控制的比较,1）附加阻尼来源：微分控制的阻尼作用来源于系统输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。,2)使用环境：微分控制对噪声具有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用微分控制；同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求
14、选用高质量的放大器。测速反馈控制对系统输入端的噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。,3）对开环增益和自然频率的影响：微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈虽不影响自然频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益，开环增益的加大，必然导致系统自然频率的增加，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。,4）对动态性能的影响：微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的情况下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,六： 非零初始条
15、件下二阶系统的响应,设二阶系统的闭环传递函数为,相应的微分方程为,对上式取拉氏变换，并考虑初始条件，得,零输入响应分量,其中,3.4高阶系统的时域分析,一：高阶系统的阶跃响应,若闭环极点si为互不相同之实数，当输入为单位阶跃信号时，,设控制系统闭环传递函数为,称为系统的静态放大倍数（静态增益）。,若闭环极点中有q个实数极点，r对复数极点(q+2r=n)，当输入为单位阶跃信号时，,上式表明，如果高阶系统的所有闭环极点都具有负实部，即所有闭环极点都位于左半s开平面，那么随着时间的增长，响应的瞬态分量趋于零，系统是稳定的，其稳态输出量为A0。,显然，对于稳定的高阶系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的响应分量衰减得越迅速；反之，则衰减缓慢。,二：闭环主导极点和偶极子,对于稳定的高阶系统而言，如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的不会极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，无论从指数还是系数来看，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或是它们的组合。除闭环主导极点外，其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移而迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。,另外，闭环极点附近又闭环零点，则该闭环极点所对应
