《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 周武能 第4章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理 教学课件 ppt 作者 周武能 第4章（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-1-,第4章,控制系统的根轨迹及系统分析 本章主要介绍根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的法则和广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。,-2-,4.1 引言,闭环控制系统的稳定性和瞬态响应的基本特性是由闭环极点或特征方程的根所决定的。 采用解析法求取系统的闭环特征方程的根通常是比较困难的。给系统分析和设计带来很大的不便。 W.R.Evans提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，称为根轨迹法。 利用根轨迹图可以分析已有的闭环系统的稳定性和瞬态响应特性。在线性控制系统的设计和综合时，按照系统的性能指标要求，也可以通过根轨迹法来确定可调参数和系统的开环零极点的位置。,-3-
2、,4.2 根轨迹的基本概念,4.2.1根轨迹 当系统的某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在-平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹，即根轨迹。 用根轨迹来研究控制系统的方法就叫根轨迹法。 下面举一个例子，用解析法分析参数K从 时，特征方程之根在复平面上的变化和移动轨迹。,-4-,图示的二阶系统的开环传递函数为,其中,称为根轨迹增益。,-5-,闭环特征方程为 特征根为 我们来讨论当系统参数 从零变化到无穷大时，系统特征方程根的变化轨迹，即根轨迹。,-6-,系统根轨迹图,-7-,4.2.2 根轨迹与系统性能的关系,1稳定性 只要K0，原系统就是稳定的。 2稳态性能 系统属
3、于 型系统，因此阶跃响应时的稳态误差为0。而当有单位斜坡输入时其稳态误差为 。 3.动态性能 系统分别呈现过阻尼状态、临界阻尼状态、欠阻尼状态。,-8-,4.2.3 闭环零极点与开环零极点之间的关系,一般的控制系统结构 设 开环传递函数为,-9-,系统闭环传递函数为 闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成。特别是对于单位反馈系统而言，开环系统的零点即为闭环系统的零点。 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 不用求解闭环特征方程，而通过开环系统的零点和极点来找出闭环极点，这正是根轨迹法的优越之处。,-10-,4.3 根轨迹的幅值条件及相角条件,设系统的开环传递
4、函数 系统的闭环特征方程应为,-11-,所以 分解为幅值条件和相角条件,-12-,-13-,例4-1 设某控制系统的开环传递函数为,-14-,4.4 根轨迹的绘制步骤,1根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点个数少于开环极点个数，则有 条根轨迹终止于无穷远处。 2根轨迹的分支数，对称性和连续性 对于n阶系统，根轨迹有n个起始点，因此系统的根轨迹有n个分支。 根轨迹连续并且对称于实轴。,-15-,3实轴上的根轨迹 实轴上的某一区段，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区段必是根轨迹上的一段。 4. 根轨迹的渐近线 当系统有m个开环零点和n个开环极点且nm时
5、, 渐近线与实轴的倾角和渐近线与实轴的交点坐标值分别为,-16-,-17-,例4-2 已知一个四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹。,-18-,解(1) 先标出开环零极点的位置, 极点用“”表示, 零点用“”表示。 (2)确定系统在实轴上的根轨迹。 (3)n-m=4-1=3，所以有3条渐近线。 渐近线与实轴的交点和夹角如下:,-19-,结合实轴上的根轨迹, 绘制系统的根轨迹如图,-20-,例4-2中系统的根轨迹图,-21-,5. 根轨迹的分离点 两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。 分离点坐标位置的求解有两种方法。 方法一 分离点的坐标由下面的分
6、式方程确定,-22-,方法二 分离点d的坐标由 解出 例4-3 某控制系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。,-23-,解 将系统开环零、极点标于s平面上，如图所示。 根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有条根 轨迹趋于无穷远处 . 实轴上的根轨迹：0 -1和-2 -3。 渐近线：,-24-, 分离点：分离点坐标为 画出的根轨迹 :,-25-,-26-,6. 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹中对系统动态特性有较大影响的是靠近虚轴和原点的那部分根轨迹。确定根轨迹与虚轴交点的方法有以下两种。 方法一 根轨迹与虚轴相交，表明闭环特征方程出现纯虚根，系统处于稳定边界。可应用劳斯判据先求出系统处于稳定边界的
7、临界值，再由值求出对应的值，即为根轨迹与虚轴的交点。,-27-,方法二 令 ，代入系统的特征方程中，分别令方程的实部和虚部为零，从中求得与虚轴的交点 值和相应的 值。即由 推出,-28-,例4-4 设某单位反馈系统的开环传递函数为 试大致绘制系统的根轨迹。,-29-,解 根轨迹绘制如下。 因为开环极点有3个，无开环零点，所以有3条根轨迹且都沿渐近线趋向无穷远。 确定实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段为：(- -5 和-1 0。 渐近线的中心和与实轴正向的夹角分别为,-30-, 分离点计算： 由 ，解出 ， 。 因为分离点位于实轴上 中，故取 。 (5)与虚轴交点计算： 方法1 系统闭环特征方程
8、为 令 ，代入特征方程，则解得,-31-,方法2 用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。 列劳斯表为,1 5,6,0,-32-,当 时， 行元素全为零，由 行的辅助方程求得 解得 为根轨迹与虚轴的交点。 根轨迹如图 :,-33-,-34-,7. 根轨迹的起始角和终止角 从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角称为起始角，以 表示。而进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角称为终止角，以 表示。 以下图为例：,-35-,-36-,起始角计算公式： 终止角计算公式：,-37-,例4-5 设某系统开环传递函数为 试大致绘制系统的根轨迹。,-38-,解 将系统的开环传
9、递函数写为 将开环零、极点标于S平面上，大致分布如图4-9。绘制根轨迹步骤如下：,-39-, 实轴上的根轨迹：0 -1.5和-2.5 -）; 起始角和终止角： 在 处，起始角 为,-40-,由于 与 为共轭复根，所以这两条根轨迹的起始角对称。 在 处的起始角 为 同理，在 处的终止角为,-41-,系统的根轨迹的形状如图4-9所示 ：,-42-,图4-9,-43-,几种常见的根轨迹形状,-44-,表4-1 绘制根轨迹的基本法则,按照这些基本的法则，就可以粗略地绘制出控制系统根轨迹的大致形状。在此基础上，还可以在感兴趣的区域内，利用幅值条件和相角条件对根轨迹进行修正，得到该区域内的根轨迹的精确图形
10、。,-45-,4.5 控制系统的根轨迹分析,4.5.1利用根轨迹确定系统的有关参数 利用根轨迹可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。,-46-,例4-7 设某三个系统的开环传递函数分别为 试分别绘制这三个系统的根轨迹。,-47-,合理选择校正装置参数，即设置相应的开环零、极点位置，可以改善系统动态性能。,-48-,4.5.2 开环零极点对根轨迹的影响 开环零、极点的分布决定着系统根轨迹的形状。如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相应的开环零、极点的分布， 调整
11、根轨迹的形状，改善系统的性能。,-49-,1. 增加开环零点对根轨迹的影响,-50-,2. 增加开环极点对根轨迹的影响,-51-,4.5.3参数变化对闭环极点的影响 以根轨迹增益为参变量的根轨迹可方便地研究开环增益对系统性能的影响。 在实际工程系统的分析程中，有时需要研究其它参数变化对系统性能的影响。这种情形下绘制的根轨迹，称为广义根轨迹。,-52-,参数 的根轨迹 例4-8 设某单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制 时的根轨迹。,-53-,解 该系统的闭环特征方程为 简化得 将上式写成以为参变量的根轨迹方程,-54-,以 为增益的等效的开环传递函数作根轨迹：,-55-,图4-15,-56-,
12、从根轨迹图4-15中得出参数变化对系统性能的影响如下： 当 变化时， ，闭环极点落在实轴上，系统呈过阻尼； 当 变化时， ，闭环极点为一对共轭复数，系统呈欠阻尼； 当 变化时， ，闭环极点落在s右半平面，系统不稳定。,-57-,2. 两个参数的根轨迹簇 如果系统中有两个变化参量，那么只要逐一固定其中一个变化参数，按另一个变化参数作根轨迹，就可以得到根轨迹簇。,-58-,例4-9 某控制系统的开环传递函数为 试绘制以和为参变量的根轨迹。,-59-,图4-16例4-9所示系统的根轨迹图,-60-,4.6 Matlab在根轨迹法上的仿真方法,根轨迹是系统某一个参数从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根
13、在-平面上的变化轨迹。节4.4介绍的根轨迹法则只能绘制根轨迹的草图，而用Matlab仿真方法可以方便地绘制精确的控制系统根轨迹图。,-61-,4.6.1绘制系统的零极点分布图,在绘制根轨迹图以前，可以先确定系统零极点的位置。绘制系统零极点图的调用格式有以下两种： 1. p,z=pzmap(A,B,C,D) pzmap(p,z) 2. p,z=pzmap(num,den) pzmap(p,z) 图中的极点以“ ”表示，零点以“ ”表示。,-62-,例4-12 已知某系统的开环传递函数为 求系统的开环零、极点位置。 解 在Matlab的命令窗口中键入 num=1 4; den=1 2 4 0; p
14、,z=pzmap(num,den); pzmap(p,z) 可得图4-18所示的结果。,-63-,图4-18 开环零极点分布图,-64-,4.6.2 绘制系统的根轨迹,在绘制根轨迹之前，先把系统的特征方程整理成标准根轨迹方程 其中 为根轨迹增益； num(s)为系统开环传递函数的分子多项式； den(s)为系统开环传递函数的分母多项式。,-65-,绘制根轨迹的调用格式有以下三种： rlocus(num,den) 开环增益k的范围自动设定； rlocus(num,den,k) 开环增益k的范围人工设定； r,k=rlocus(num,den) 返回r矩阵和k向量，不作图。,-66-,例4-13
15、已知某系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 解 在Matlab命令窗口键入 num=1 4;den=1 2 4 0; rlocus(num,den) 可得如图4-19的结果。,-67-,图4-19 =0的根轨迹图,-68-,例4-13 若要求例4-12中的在1到10之间变化，绘制相应的根轨迹。 解 在MATLAB命令窗口键入 num=1 4; den=1 2 4 0;k=1:0.5:10; rlocus(num,den,k) 可得如图4-20的结果。,-69-,图4-20 根轨迹图,-70-,例4-14 设系统的开环传递函数为 试绘制其闭环系统的根轨迹图并在图上找出几点的相关数据。,-71-,解 在MATLAB命令窗口键
