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1、1,第4章 根轨迹分析法,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的方法 4.3 参量根轨迹 4.4 零度根轨迹 4.5 用根轨迹分析系统性能 4.6 MATLAB用于根轨迹分析,2,4.1 根轨迹的基本概念,4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程,3,4.1.1 根轨迹,设系统的结构如图所示。其中，为零、极点形式下开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。,系统的闭环传递函数为,闭环特征方程式为,特征根为,4,1）时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。,结合关于高阶系统的分析一节，可得出以下几点：,2）当时，特征根为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态。,3）值时，特征根为两个
2、复数根，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。特征根的实部为衰减系数，虚部为振荡频率。,5,4.1.2 根轨迹方程,设系统的结构如图所示。,系统的闭环传递函数为,开环传递函数的一般表达式为,式中，为开环传递函数的零点，为开环传递函数的极点，为根轨迹增益。系统的闭环特征方程式为,即,6,定义根轨迹方程为,因为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。,相角方程为,幅值方程为,或,7,可见，幅值方程与根轨迹增益Kr有关，而相角方程却Kr与无关。所以，当s平面上的某个点满足相角方程时，则该点必在根轨迹上。而该点的对应的Kr值，可以通过幅值方程求出。 因此，相角方程是确定s平面上的某个点是否在
3、根轨迹上的必要条件，所有满足相角方程的s就构成了闭环特征方程式根的轨迹。这样，无需对特征方程式求解，只要寻找满足相角方程的s，便可得到系统的闭环根轨迹。,8,4.2 绘制根轨迹的方法,4.2.1 绘制根轨迹的基本规则 4.2.2 根轨迹绘制举例,9,1. 根轨迹的对称性和分支数,4.2.1 绘制根轨迹的基本规则,闭环特征根如果是实数根，则分布在平面的实轴上；如果是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如图所示。因此，形成的根轨迹必定对称于实轴。,当取某一数值时，阶特征方程式有个确定的根。当变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，个根也就形成条根轨迹。,根轨迹对称
4、于实轴，其分支数等于开环极点数n和开环零点数m中的最大数。,10,2. 根轨迹的起点和终点,考虑到根轨迹起始处Kr，故根轨迹幅值方程为,而根轨迹终点处Kr,有m条根轨迹终止于开环传递函数的零点，n-m条终止于无穷远。,根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点或无穷远。,使等式成立的条件是,11,例- 已知系统的开环传递函数为,试确定系统的根轨迹图。,解 : 系统的开环零、极点为 p1=0, p2=-1, p3=-2， z1= -1+ j, z2= -1- j，根轨迹如图-所示。,图中，“”表示开环传递函数的极点，“”表示开环传递函数的零点。系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数
5、的极点，其中两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。,12,3. 实轴上的根轨迹段,实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。,设系统的开环零、极点分布如图所示。,在实轴上p1与p2之间任取一点s1，s1与开环零、极点的矢量如图-中的箭头线所示。,s1对应的相角为,满足相角相角方程，即该区段是根轨迹段。,13,例4-2 已知系统的开环传递函数为,试画出该系统的根轨迹图。,图4-7 T时的根轨迹,图4-8 T时的根轨迹,14,4. 根轨迹的渐近线,趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：,渐近线与实轴的夹角,渐近线与实轴的交点,例4-3 已知系统的开环传递函数为,试绘制系统
6、的根轨迹图,15,5. 根轨迹的分离点和会合点,设系统的开环传递函数为,闭环特征方程为,根据重根的条件，必须同时满足以下两式,则,整理后，得分离会合点的必要条件式为,只有位于根轨迹上的重根 才是分离点或会合点,16,例4-4 已知系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹图。,解 (1) 开环零、极点为p1=-1，p2=-2，z1=-3。,(2) 实轴上的根轨迹段为p1p2段和z1-段。 (3) n-m=1，故有一条根轨迹趋于无穷远。 渐近线与实轴的夹角为,(4) 分离点和会合点为,s1为根轨迹的分离点，s2为根轨迹的会合点。,解方程得,17,6. 根轨迹的出射角和入射角,出射角:为根轨迹在复数起
7、点处的切线与正实轴的夹角。,设系统的开环零、极点分布如图所示，有零、极点z1,p1，p2，p3，p4。,设p3的出射角为3，如图所示。假设s1为根轨迹上的一点，则s1应满足相角方程,由此可推得出射角的一般表达式,18,入射角的一般表达式为,例4-6 已知系统的开环传递函数为,入射角:为根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。,试绘制系统的根轨迹图。,19,7. 根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常需要求得这一交点和相应的Kr值。,例4-7 已知系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹图。,设与虚轴相交的闭环极点为=j，代入闭环特征方程得：,解方程即可求得，,20
8、,8. 开环极点与闭环极点的关系,在一定条件下，开环极点与闭环极点间有着固定的关系，可利用这种关系来判别闭环特征根在平面上的走向，并为确定闭环极点带来方便。,根据代数方程的根与系数间的关系，次高项系数,设阶系统闭环特征方程可表示为,如果满足条件n-m2 ，则,21,4.2.2 根轨迹绘制举例,例4-8 已知系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹图。,解 （1）开环极点为p1=0,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0,（2）实轴上的根轨迹段 p1 -,（3）根轨迹的渐近线,（4）根轨迹的出射角,22,（5）根轨迹与虚轴的交点,系统闭环特征方程为,将,带入上式得,（6）根轨迹的分
9、离点和会合点,解得,由,得,系统的根轨迹图如图.,解得,23,4.3 参量根轨迹,设系统根轨迹方程为,或,为等效开环传递函数。,经整理可变换为,称,根据前述绘制根轨迹的规则，由等效开环传递函数的极点和零点的分布情况就可绘制参量K=0的参量根轨迹图。,参量根轨迹以非（如开环零点、极点、时间常数等）为参变量绘制的根轨迹。,24,例4-10 设系统的开环传递函数为,试绘制系统变化时的根轨迹图。,整理得：,解 系统的特征方程式为,等效开环传递函数为,25,（）开环零、极点为,（）实轴上的根轨迹段为z3-段。,（）根轨迹的出射角和入射角,（）根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为,由根轨迹绘制规则作该系统
10、的根轨迹图：,26,4.4 零度根轨迹,正反馈系统的闭环特征方程为 1- G(s) H(s) = 0 根轨迹方程为 G(s) H(s) = 1,其幅值方程与负反馈系统相同，而相角方程则为,因为相角条件常规根轨迹的不同为 ，故称之为零度根轨迹。,27,）实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为偶数。 ）根轨迹的渐近线与实轴的夹角为,）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为,在绘制根零度根轨迹的规则中，不同于负反馈系统的有以下几点：,28,例4-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹图。,解 将开环传递函数改写成零、极点形式,，式中,除具有正反馈结构的系统之外，有些非最小相位
11、系统虽是负反馈结构，但其开环传递函数的分子或分母多项式中， 的最高次幂的系数为负，因而系统具有正反馈性质。因而要用绘制零度根轨迹的规则来作根轨迹图。,满足零度根轨迹绘制条件。,29,图4-19 例4-11根轨迹,30,4.5 用根轨迹法分析系统性能,4.5.1 已知根轨迹增益确定闭环极点 4.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极 点和 4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响,31,4.5.1 已知根轨迹增益Kr确定闭环极点,闭环系统的性能由闭环传递函数的零、极点来决定，系统的闭环极点可通过根轨迹图来确定，而闭环零点为前向通道传递函数G(S)的零点和反馈通道传递函数H(s)的极点组成。
12、由控制系统的根轨迹图可以确定根轨迹增益与控制系统的性能的关系。,（1） 稳定性及稳定条件 由根轨迹图可以确定根轨迹都位于s左平面时增益Kr的取值范围。,（2）运动形式 由根轨迹图可以确定系统响应为单调变化或衰减振荡形式时的Kr数值范围。,（3）暂态性能指标 可由根轨迹确定的主导极点来估算。,32,例-12 已知系统的开环传递函数为,试采用根轨迹法分析：,（1）系统稳定性时Kr的取值范围。 （2）系统响应为衰减振荡形式时Kr的取值范围。 （3）试估算时系统的超调量和调整时间。,解 绘制系统根轨迹如图，由图知：,（1）系统稳定性时：0 Kr 6 （2）系统响应为衰减振荡形式时: （3）试估算时系统
13、的超调量和调整时间。,33,（3）因Kr=1处于0.358Kr6范围，所以系统的闭环极点为一个实数极点和一对复数极点。根据幅值方程求出负实轴试验点对应Kr的值，最终可找到Kr=1时系统的闭环极点:,然后，根据闭环特征方程和长除法，可求得另两个极点,是一对主导极点。所以系统的闭环传递函数为,则,所以系统的超调量和调整时间为,34,4.5.2 已知系统的性能指标，确定闭环极点和,采用根轨迹法分析系统的性能，有时也需要根据对系统的性能指标要求，确定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得系统的性能满足要求。,例4-13 已知系统的开环传递函数为,根据性能指标要求，=0.5，试确定满足条件的闭环极点和对应的
14、Kr。,解 系统的根轨迹图如图所示。,在根轨迹图上作600的射线。从图上可确定该线和根轨迹的交点坐标：,35,则有,故系统的闭环传递函数为,36,4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响,.增加开环零点,37,增加开环零点后，使根轨迹向左弯曲，最后趋于开环零点和负无穷远，系统的相对稳定性提高。选择合适的Kr值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以保证系统快速性；又可使 角较小（ 较大），以降低超调量。,38,2 . 增加开环极点,39,与增加开环零点时的情况相反，在系统的开环传递函数中增加极点，将会使系统的根轨迹向右弯曲或移动，系统的稳定性变差。 所增加极点的模值越小，即离虚轴越近，则根轨
15、迹向右弯曲或移动的趋势越明显，对系统稳定性的影响也就越大。,40,4.6 MATLAB用于根轨迹分析,4.6.1 根轨迹绘制,绘制根轨迹可用函数 rlocus (num,den) 或 rlocus (num,den,k),例4-16 已知系统前向通道传递函数为,反馈通道传递函数为 ，试绘出系统闭环根轨迹图。,41,键入命令： Gc=tf(1,1 5); Go=tf(1 1,1 8 0); H=tf(1,1 2); rlocus(Gc*Go*H); v=-10 10 10 13;axis(v); grid on,运行结果,42,4.6.2 根轨迹分析,在系统的分析过程中，常常希望确定根轨迹上某一点的开环增益值和其它参数值，可以通过两种方法实现。 （1）绘制出根轨迹曲线，单击曲线上的任意一点，即可以方框的形式显示该点处的增益值（Gain）、极点（Pole）、阻尼比（Damping）、超调量（Overshoot）、频率（Frequency）等参数值。,（2）在调用rlocus函数之后，调用rlocfind函数，即 k,pole=rlocfind(num,den);,用于确定根轨迹上某点的增益值k以及对应于该增益值的所有闭环极点。,
