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1、第2章 有限单元法基础理论,2.1.1 平面问题有限元法,平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。,设有很薄的均匀薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，记薄板的厚度为t，以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度变化，可以认为恒有,平面应力问题,不为零的应力分量为,2.1 结构静力学问题有限元法,平面问题有限元法,设有无限长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化。以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，由于对称性（任一横截面都可以看做
2、对称面），此时,平面应变问题,不为零的应变分量为,二维连续介质用有限单元法分析的步骤:,分割成有限个三角形单元,假定各单元在节点上互相铰接，节点位移是基本的未知量 ; 选择一个函数，用单元的三个节点的位移惟一地表示单元内部任一点的位移，此函数称为位移函数（位移模式） ; 用节点位移惟一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用节点位移可惟一地表示单元内任一点的应力 ; 利用能量原理找到与单元内部应力状态等效的节点力；再利用单元应力与节点位移的关系，建立等效节点力与节点位移的关系;（最重要一步） 将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到节点上 在每一节点建立用节点位移表示的静力平衡方程
3、，得到一个线性方程组；解出这个方程组，求出节点位移；然后可求得每个单元的应力。,1 单元的位移模式及插值函数,逆时针方向编码为正向。节点位移为,图2-1 3节点三角形单元,e=ui, vi, uj, vj, um, vmT,1 单元的位移模式及插值函数,单元的位移模式（也称位移函数和插值函数）一般采用多项式作为近似函数,16 是待定系数，称之为广义坐标。,1 单元的位移模式及插值函数,A为三角形的面积,(i，j，m)表示下标轮换，如ij，jm，mi。,1 单元的位移模式及插值函数,可将单元位移函数表示成节点位移的函数,Ni，Nj，Nm称为单元的插值基函数或形函数，它是坐标x、y的一次函数。单元
4、上任一点的形函数之和为1。,写为矩阵的形式,2.应变矩阵,作为平面问题，单元内具有3个应变分量x、y、xy,B称为应变矩阵，写为分块形式B=Bi Bj Bm ，反应单元应变与节点位移之间关系。,3节点三角形单元的B是常量阵，所以称为常应变单元。除非特别说明，不考虑温度影响。,3.单元应力,对平面应力问题，取应变分量,D为弹性矩阵,解出,代入,3.单元应力,S为应力矩阵，反映了单元应力与单元节点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为常量，所以单元边界上有应力阶越，随单元划分变密，突变将减小。,3.单元应力,对平面应变问题，有四个应力分量：x、y、xy和z。取应变分量,由应变分量解出x、y、xy
5、， z,根据物理方程可以求解各应力分量。,4.单元刚度矩阵,单元节点力为Fe，节点虚位移为(*)e，节点虚应变为(*)e，平面单元的厚度为t。应用虚位移（虚功）原理,可见单元刚度矩阵为,4.单元刚度矩阵,进一步表示为,对平面应力问题有,单元刚度矩阵为对称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移，给定的节点力不能惟一地确定节点位移，可知单元刚度矩阵不可求逆，具有奇异性。,5.等效节点载荷,依照静力等效原则，即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等，求等效节点载荷。,对设单元ijm内坐标为(x，y)的任意一点M受有集中载荷f=fx fyT，移置为等效节点载荷P e=Xi Yi Xj Yj Xm Ym
6、T。假想单元发生了虚位移，其中，M点虚位移为u*=NT(*)e，其中(*)e为单元节点虚位移。,(1)集中力的移置,5.等效节点载荷,(2)体力的移置,单位体积的体力记为qqx qyT，其等效节点荷载为,(3)面力的移置,设在单元的某一个边界上作用有分布的面力，单位面积上的面力为p=px pyT，在此边界上取微面积tds，对整个边界面积分,5.等效节点载荷,例2-1 求单元在以下受力情况下的等效节点荷载：y方向的重力为G、图示ij边受x方向均布力p、图示jm边受x方向线性分布力。,6. 整体分析,结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构物进行分析，分析过程是将所有单元的单元刚度
7、方程组集成总体刚度方程，引进边界条件后求解整体节点位移向量。求出各单元刚度矩阵，利用大域变换法求出结构整体刚度矩阵K，引入边界条件，得到结构的节点平衡方程,进而，求解节点位移、单元应力和应变。,6. 整体分析,例2-2 如图所示，一悬臂梁，自由端受合力为P的均布力作用，梁厚t=1，=1/3，求节点位移。,结构为平面应力问题，划分为2个三角形单元、，有四个节点1、2、3、4，坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，1）、（0，1）。单元、节点顺序分别取3、1、2和1、3、4，刚度矩阵完全一样。 对单元：bi=0，bj=1，bm=1，ci=2，cj=0，cm=2。 对单元：bi=0，bj=1，bm
8、=1，ci=-2，cj=0，cm=2。,6. 整体分析,例2-2 如图所示，一悬臂梁，自由端受合力为P的均布力作用，梁厚t=1，=1/3，求节点位移。,单元的刚度矩阵为,6. 整体分析,利用大域变换法求出整体刚度矩阵,节点荷载向量为,位移向量为,由结构平衡方程求得节点位移为,P=0 0 0 P/2 0 P/2 0 0 0T,=u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T,7. 平面问题高次单元,为了更好地逼近实际的应变与应力状态，提高单元本身的计算精度，可以增加单元节点而采用更高阶次的位移模式，称为平面问题高次单元。,其位移模式分别为,图2-6 六节点三角形单元 图2-7 四节点矩形单元,
9、2.1.2 轴对称问题有限元法,如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。,用有限单元法分析轴对称问题时，须将结构离散成有限个圆环单元。这种环形单元之间由圆环形铰相连，称为结圆。与平面问题不同之处是：单元为圆环体，单元之间由结圆铰接，节点力为结圆上的均布力，单元边界为回转面。,采用圆柱坐标(r，z)较为方便 。任一点只有两个位移分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于对称，方向的环向位移等于零。,1.位移函数,节点位移（形函矩阵反应位移与节点位移的关系）,2.单元应变,应变与位移之间符合下列关
10、系,图2-10 轴对称弹性体的应力,3.单元应力,任一点具有4个应力分量，即径向正应力r、环向正应力、轴向正应力z及剪应力rz。,图2-10 轴对称弹性体的应力,4.单元刚度矩阵,由虚位移方程，沿着整个圆环求体积分,图2-10 轴对称弹性体的应力,5.节点荷载,对于轴对称问题，节点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。例如，设节点的半径为r，单位长度的铰上作用的荷载为 (径向)和 (轴向)，计算中采用的节点荷载应为径向2 ，轴向2 。,图2-10 轴对称弹性体的应力,设单位体积内作用的体积力(重力、离心力等)为q=qr qzT，节点荷载为,2.1.3 空间问题有限元法,在空间问题中，最简单的单元是具有
11、四个角点的四面体,以四个角点i、j、m、p为节点，这是最早提出的，也是最简单的空间单元。,图2-11 四面体单元,每个节点有三个位移分量,单元位移向量,1.位移模式,在空单元内任一点的位移分量是坐标的线性函数 ，即位移模式,广义坐标1、5、9代表刚体移动，2、7、12代表常量正应变，其余6个系数反映了常量剪应变和刚体转动。,1.位移模式,为了使四面体的体积V不为负值，单元节点的标号i、j、m、p必须依照一定的顺序，在右手坐标系中，当按照ijm的方向转动时，右手螺旋应向p的方向前进。,2.单元应变,6个应变分量,应变矩阵的子阵为（常量矩阵）,3.单元应力,单元应力可用节点位移表示为,应力矩阵S=
12、DB，弹性矩阵D为,4.单元刚度矩阵、5.节点荷载,由虚位移原理，可以得到单元刚度矩阵,节点荷载计算公式,集中力f=fx fy fzT的移置,P e=N T f,体力q=qx qy qzT的移置,面力p=px py pzT的移置,6.高次四面体单元及六面体单元,如果采用高次位移模式，单元中的应力是变化的，就可以用较少的单元、较少的自由度而得到要求的计算精度，从而降低方程组的规模。当然，高次单元的刚度矩阵比较复杂，形成刚度矩阵要花费较多的计算时间。但在保持同样计算精度的条件下，采用高次单元，在总的计算时间上还是节省的,图2-12 10节点四面体单元 图2-13 8节点六面体单元,2.1.5 单元
13、与整体分析 1.能量原理,有限单元法的核心是建立单元刚度矩阵，有了单元刚度矩阵，加以适当组合，可以得到平衡方程组，剩下的就是一些代数运算了。在弹性力学平面问题计算中，我们是用直观方法建立单元刚度矩阵的，其优点是易于理解，并便于初学者建立清晰的力学概念。但这种直观方法也是有缺点的：一方面，对于比较复杂的单元，依靠它建立单元刚度矩阵是有困难的；另一方面，它也不能给出关于收敛性的证明。把能量原理应用于有限单元法，就可以克服这些缺点。能量原理为建立有限单元法基本公式提供了强有力的工具。在各种能量原理中，虚位移原理和最小势能原理应用最为方便，因而得到了广泛的采用。,(1)虚位移原理,虚位移可以是任何无限
14、小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。,图2-15 固体的边界条件,外力,FF1 F2 F3 T,应力,虚位移,虚应变,(1)虚位移原理,外力在虚位移上所做的虚功,图2-15 固体的边界条件,整个物体的虚应变能,虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即,不但适用于线性材料，也适用于非线性材料。,(2)最小势能原理,物体的势能p定义为物体的应变能U与外力势V之差,右端第l项为集中力F的势；第2项为体积力q的势；第3项为面力的势；S为面
15、力作用的表面；r b为表面S上的位移。,最小势能原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调（连续）位移中，那些满足平衡条件的位移使物体势能取驻值,2.用能量原理求单元刚度矩阵和节点荷载,设一个单元，在各节点上作用着节点力F e，单元节点位移为e、单元应变为=Be，物体应变能为,单元节点力的外力势为,单元的势能为,2.用能量原理求单元刚度矩阵和节点荷载,由最小势能原理,从物理上考虑，应变能必须是正量，而节点位移又是任意的，所以单元刚度矩阵是正定的。由此可以推断势能的二阶变分是非负的。既然势能的一阶变分等于零，二阶变分又非负，从而可以断定势能取最小值。,则节点力为,2.用能量原理求单元刚度矩阵和节点
16、荷载,把r=Ne代入外力势的表达式中，得到体力q与面力的势,单元的势能为,根据最小势能原理,3.用能量原理求总体平衡方程,结构整体刚度矩阵为K，节点位移为，结构内能为,P为作用在节点上的荷载，荷载的势,结构的势能,由最小势能原理，势能取驻值,2.2 结构动力学问题有限元方法,动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机，往复运动的内燃机、冲压机床，以及高速运行的车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层
