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1、第5章 自动控制系统的性能分析,5.1自动控制系统的稳定性分析 5.2自动控制系统的稳态性能分析 5.3自动控制系统的动态性能分析,制作:贺力克 陈 义,5.1自动控制系统的稳定性分析,一、系统稳定性的概念： 1、系统的稳定性(Stability)是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，经过调节，能重新达到平衡状态的性能。 2、造成自动控制系统不稳定的物理原因： 惯性或延时环节 3、系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。 系统的绝对稳定性是指系统稳定(或不稳定)的条件。 系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。,图5-1 稳定系统与不稳定系统,图5-2 造成自动控制系统不稳定的物
2、理原因,图5-3 自动控制系统的相对稳定性,二、系统稳定的充要条件：,应用数学方法研究系统的稳定性时，首先要研究稳定性和数学模型之间的关系。 若令系统传递函数的分母等于零，即微分方程的特征方程 由特征方程的根，便可获得微分方程（齐次方程）的解。,对应一个实数根 ，微分方程响应的一个解为 ,如果特征方程有一对复根 ，则微分方程相应的解为,系统稳定的必要和充分条件是：系统微分方程的特征方程所有的实根必须是负数，所有复根的实数部分也必须是负数。亦即所有的根都在复平面的左侧。 对稳定的系统，若 的值 愈大，亦即负实根或具有负实部的复根离虚轴(Im轴)愈远，则系统的调整时间愈短，系统的相对稳定性愈好。
3、在高阶（三阶以上）的系统中，往往将离虚轴的最近（即对系统稳定性影响最大）的极点，称为主导极点。,图5-4 复平面上根的位置与系统的相对稳定性,三、代数稳定判据 稳定判据：一些间接判断特征方程根的符号以确定系统是否稳定的准则。 劳斯霍尔维茨稳定判据： 若系统微分方程的特征方程 为,由特征方程的系数可排成下列的行列式（称为劳斯霍尔维茨行列式），此行列式的特点是：第一行为第二项，第四项等偶数项的系数，第二行则为第一项，第三项等奇数项；第三，第四行则重复上二行的排列，但向右移动一列，前一列则以数代替；以下各行，以此类推；参见式（5）式中等代表各子行列式,劳斯霍尔维茨稳定判据认为：系统稳定的充分而必要的
4、条件是： ）系统的特征方程的各项系数an,an-1 a0均为正值 ）系数的主行列式n和各子行列式1, 2, 3, n-1均大于零,例分析二阶系统的稳定性 解二阶系统的特征方程D(s)=a2s2+a1s+a0=0 由于特征方程的系数取决于部件的参数，因此总能满足a2、a1和a0均为正值的要求 又由式（5）有，2= ,由此有2= a1a0 及1= a1。由于a2、a1、a0均大于零，所以20及1 0.即判据的条件总能满足，因此，二阶系统总是稳定的.,【例2】在图5-5所示的调速系统框图中,若已知Ks=40,Ke=0.12V/(r/min),Tm=0.1s,Td=0.02s, 求该系统的稳定条件。,
5、图5 晶闸管整流供电的直流调速系统框图,解由图5并参照式（238），可得此系统的闭环传递函,由式（5）可得该系统的特征方程（此为三阶系统）： 上式可写成 （s)=a3s3+a2s2+a1s+a0=0 (5-6) 式中 (5-7),由式（5）可建立劳斯霍尔维茨行列式： (5-8),图5 反馈量对系统性能的影响,由劳斯霍尔维茨稳定判据知，此系统稳定的条件是： ）a3、a2、a1、a0均为正值 由式（5）可见，时间常数、增益、电动机电动势恒量 等均为正值，因此条件）能够满足 ） = =a2a1-a3a0 由式（5）有 a0 由以上各式可知，若，即能满足条件）于是此系统稳定的充要条件为， 即 a2a1
6、-a3a0 0,以式（5）各式代入有 整理上式并以具体数值代入，可得 由上式可见，要保证系统稳定，则其开环放大倍数应小于。使系统处于稳定边界的放大倍数称为临界放大倍数c，此处C=25。,四、系统稳定性能分析综述 ）系统的稳定性与系统的开环增益是密切相关的，一般说来，增大开环增益将使系统的相对稳定性变差。 ）特征根在复平面左侧、离虚轴愈远，则对应的相对稳定性愈好，反之，愈差。,3)在5.1.1的分析中,已经说明,在如图5-6所示的系统中,若反馈量B(s)=G(s)H(s)R(s)中的开环传递函数G(s)H(s)的副值G(s)H(s) 1,而且由G(s)H(s)造成的相位滞后 =-1800,则此系
7、统便由负反馈变成了正反馈而形成发散振荡.由此可见,G(s)H(s)中的环节造成的相位滞后,对系统的稳定性将产生明显的影响.可以证明:积个积分环节将会使相位角滞后900(即 =-900);两个积分环节,便会使相位滞后1800,从而使系统处于稳定边界.至于惯性环节,它造成的相位滞后为0-900(惯性时间常数T愈大,则相位 滞后便愈多.所以积分环节和大惯性环节都会使系统同样可以证明,微分环节能使相位超前900,比例微分环节能使相位超前0+900.,4) 由以上分析,不难想象,当系统因积分环节或惯性环节造成的相位滞后而使系统稳定性变差时,除了降低增益外,还可以设法增添微分或比例微分环节,来抵消这种消极
8、的影响,从而显著地改善系统的稳定性.,5.2自动控制系统的稳定性能分析,一 系统稳态误差的概念 . 现以图5-7所示的典型系统来说明系统误差的概念.,图5 典型系统框图,系统误差e(t)的一般定义是:希望值cr(t)与实际值c(t)之差.即 e(t)=cr(t)-c(t) 系统误差的拉氏式为 E(s)=Cr-C(s) 对于输出希望值,通常以偏差信号 为零来确定希望值,即 (s)=R(s)-H(s)Cr(s)=0 于是,输出希望值(拉氏式),代入式(5-9),系统的误差(拉氏式)为 系统的实际输出量由图5-7有参见式(7-29) 式中,R(s)为输出量(拉氏式);-D(s)为扰动量(拉氏式).,
9、于是,以Cr(s)及C(s)的值代入式(5-10)可得系统误差E(s) 式中,Er(s)为输入量产生的误差(拉氏式)(又称跟随误差). Ed(s)为扰动量产生误差(拉氏式),对Er(s)进行拉氏式反变换,即可得er(t),er(t)为跟随动态误差. 对Ed(s)进行拉氏式反变换即可得ed(t),ed(t)为扰动动态误差 两之和即为系统动态误差 e(t)=er(t)+ed(t) 式(5-15)表明,系统的误差e(t)为时间的函数,是动态误差,它是跟随动态误差er(t)和扰动动态误差ed(t)的代数和. 对稳定的系统,当t时,e(t)的极限值即为稳定误差ess即, 系统稳态误差,利用拉氏式变换终值
10、定理可以直接由拉氏式 求得稳态误差.即 由式(5-13) 式(5-17)有 1.输入稳态误差(跟随稳态误差) 2.扰动稳态误差 于是系统的稳态误差有,二 系统稳态误差与系统型别、开环增益间的关系,一个复杂的控制系统通常可看成由一些典型的环节组成.社控制系统的传递函数为 在这些电习惯内环节中,当s0时,除K和 外,其他各项均趋于1.这样,系统的稳态误差将主要取决于系统中的比例和积分环节.这是一个十分重要的结论.,在图5-7所示的典型系统中,今设G1(s)中包含v1个积分环节,其增益为K1,于是 式中,v1为扰动作用点前的积分个数. 设G2(s)中包含v2个积分环节,其增益为K2,于是 式中,v2
11、为扰动作用点后的积分个数. 设 中不含积分环节,其增益为a,于是 如今以式(5-22)式(5-24)代入(5-18)和式(5-19)有,1 跟随稳态误差,若设K1K2a=K(开环增益),v1+v2=v(前向通路积分个数). 此外,当K时,特别是当s时, 代入上式, 于是 由式(5-25)可见:跟随稳态误差essr与前向通路积分个数v和开环增益K有关,若v愈多,K愈大,则跟随稳态精度愈高.此外,还与给定信号R(s)有关.,2 扰动稳态误差essd,由式(5-26)可见:扰动稳态误差essd与扰动量作用点前的 前向通路的积分个数v1和增益K1有关,若v1愈多,K1愈大,则 对该扰动信号的稳态精度愈
12、高.此外,还与扰动量D(s)和扰 动量的作用点有关.,3 系统型别的概念 分析式(5-25)和式(5-26),可以看出:,系统的稳态误差与系统中所包含的积分环节的个数v(或v1,下同)有关,因此工程上往往把系统中所包含的积分环节的个数v称为型别(Type),或无静差度. 若v=0,称为0型系统(又称零阶无静差) 若v=1,称为型系统(又乘一阶无静差) 若v=2,称为型系统(又称二阶无静差) 由于含两个以上积分环节的系统不易稳定(见5.1.4分析),所以很少采用型以上的系统., 系统跟随稳态误差与系统型别、输入信号类型间的关系,现以跟随稳态误差为例来分析ess与r(t)间的关系. （1）.对0型
13、系统,v=0,并以R(s)代入(5-25)有,三 系统稳态误差与输入信号间的关系,（2）.对型系统:v=1,并以R(s)代入(5-25)有,（3）.对型系统:v=2,并以R(s)代入(5-25)有,四 系统稳定性能分析综述,1)系统的稳态误差由跟随稳态误差和扰动稳态误差两部 分组成.它们不仅和系统的结构、参数有关,而且还和作用量(输入量和扰动量)的大小、变化规律和作用点有关. 2)作用量随时间变化得愈快,作用量产生的误差也愈的. 3)对同一个系统,由于作用量和作用点不同,一般说来,其跟随稳态误差和扰动稳态误差是不同的.,4)如上所述,v多、K大将使系统的稳态性能改善,三在5.1.4的分析表明,
14、v多、K大会使系统的稳定性变差.由此可见,对自动控制系统,其稳态性能的改善和稳定性的改善往往是相矛盾的.在对实际系统进行设计和调试时,往往在系统的相对稳定性和稳态性能之间作某种折衷的选择,以满足用户对系统性能指标的要求.,五 自动控制系统稳态性能分析举例,1 自动调速(恒值控制)系统的稳态性能分析举例 （1）.自动调速系统稳态性能的特点 自动调速系统是恒值控制系统,其给定量是恒定的(确切 地说,是预选的),因此其给定量产生的稳态误差,总是可以 通过调节给定量是事先加以补偿的.所以,对自动调速系 统来说,主要是扰动量产生的稳态误差.这是因为扰动量 事先无法确定的,并且是在不断变化着的.,对恒值控
15、制系统来说,作用信号一般都以阶跃 信号为代表,这是因为从稳态来看,阶跃信号是 一个恒值的控制信号,从动态来看,阶跃信号是 突变信号中叫严重的一种输入信号.因此,对恒 定值控制系统,其扰动量一般以D(s)=D/S为代 表.,根据以上分析,于是自动调速系统的稳态误差由式(5-26) 有 由式(5-30)可见,要使自动调速系统实现无静差.则在扰 动量作用点前的前向通路中应含有积分环节.要减小稳态 误差,则应使作用点前的前向通路中增益K1适当大一些.,（2）.自动调速系统稳态性能分析举例 【例3】在如图5-8所示的调速系统中,其参数与5.1.3【例1】中的数据相同.已知电网电压波动(扰动量) , 求电网电压波动产生的转速降n; 若系统的额定给定量 求此时系统的稳态输出nN; 问此时相对的转速n/nN为多少？式中nN为额定转速.,图5 晶闸管直流调速系统框图,【解】由图5-8可见, U作用点前的积分个数v1=0,作用点前的增益K1=540=200, 于是,由式(5-30)有 1) 若不按(5-30)近似算式计算,而按式(5-26)前面的准确算式计算,则n=-9.4r/min.,
