《自动控制原理 第2版 教学课件 ppt 作者 李晓秀 第2章 数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理 第2版 教学课件 ppt 作者 李晓秀 第2章 数学模型（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第2章 控制系统的数学模型,2.1 微分方程 2.2 传递函数 2.3 结构图 2.4 信号流图 2.5 MATLAB中数学模型的表示,2,2.1.1 系统微分方程的建立,2.1 微分方程,列写微分方程的一般步骤是： ）根据实际工作情况，确定系统或各元器件的输入变量和输出变量。 ）从输入端开始，按照信号传递的顺序和各元器件所遵循的物理规律，列出微分方程组。 ）消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程。 ）标准化。即将微分方程中与输出量有关的项写在方程的左端，与输入量有关的项写在方程的右端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。,3,例-1 求图2-1所示RLC电路网
2、络的微分方程。 为输入量， 为输出量。,解: 设回路电流为（），根据基尔霍夫定律有,消去中间变量（），可得,无源网络是一个二阶常系数线性微分方程。,4,例- 试求图-所示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统的微分方程。设外作用力为输入量，位移x为输出量。,解: 在外力的作用下，质量为m的物体还受到两个力的作用：,整理后得：,也是一个二阶常系数线性微分方程。,5,2.1.2 非线性微分方程的线性化,通常对那些符合线性化条件的非线性方程进行线性化处理。,例如，对于直流发电机的发电特性曲线，若发电机工作在曲线上的点，对应的输出电动势和励磁电流分别为和。但当励磁电流只在工作点附近变化时，就可以近似地认为是沿
3、着点上的切线（直线）变化，这就是将非线性特性线性化的方法，也称为小偏差法。,6,将非线性函数（）在工作点（，）处展开成泰勒级数:,线性化增量方程：,当忽略二次及二次以上的高次项时，就得到了一个线性方程式：,7,2.1.3 线性微分方程的求解,（4）拉式反变换求出系统输出的时间解。,线性微分方程的求解，拉氏变换法：,拉氏变换法求解微分方程步骤：,（1）方程两边求拉氏变换。,（2）给定的初始条件代入方程。,（3）求出系统输出量的拉式变换式。,8,2.1.1 传递函数的基本概念,2.1 传递函数,线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，通常用（）
4、或（）表示。,1.定义,9,设线性定常系统由下述阶线性常微分方程描述：,对上式两边在零初始条件下求拉氏变换，有,由定义得系统的传递函数为：,10,传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。输入量（）经传递函数（）的传递后，得到了输出量（）。,11,2. 性质,传递函数具有以下性质： ）传递函数是复变量的有理真分式，其分母多项式的阶次一般大于等于分子多项式的阶次，即。 ）传递函数只反映系统在零初始条件下的运动特性。 ）传递函数只取决于系统自身的结构和参数，与系统的输入量无关。 ）服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数，故它不能反映系统的物理结构和性质。 ）传递函数只描述系统
5、的输入输出特性，而不能表征系统内部所有状态的特性。 ）传递函数的概念只适用于线性定常系统。,12,3. 传递函数的形式,除有理分式形式（一般式）外，还有两种常用的形式。,（1）零、极点表达式,13,（2）时间常数表达式,各参数与零、极点式的关系：,传递函数中有共轭复数零点和极点时：,14,2.2.2 典型环节及其传递函数,1.比例环节,输入、输出量成比例，其输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化。,常有的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节和振荡环节等：,传递函数为：,实际系统中电位器、测速发电机、无弹性形变的杠杆等输出与输入的关系都可认为是比例关系。,15,2. 积分环节
6、,积分环节的输出与输入量的积分成正比，当输入突然变为零时，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。,传递函数为：,式中，T为积分时间常数。,运动方程为,16,3. 惯性环节,惯性环节又称为非周期环节，其输出量延缓地反映输入量的变化规律。,式中:T为时间常数,惯性环节的传递函数有一个负实极点 ，无零点，阶跃响应是按指数规律上升的曲线，如图,传递函数为：,运动方程为：,17,5.振荡环节,式中，阻尼比,自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）,振荡环节包含两个储能元件，在动态过程中，两个储能元件的能量互相交换。,传递函数为：,振荡环节的传递函数有一对共轭复数点 ，无零点，阶跃响应是按指数规律衰减振荡。,1
7、8,4. 微分环节,理想微分,二阶微分,一阶微分,微分环节的输出与输入信号的微分，即变化率有关。控制系统中有三种常用的微分环节,微分环节的传递函数只有零点，没有极点。由于微分环节的输出量与输入量的变化率有关，它能预示输入信号的变化趋势，故有预报功能。,实用微分环节电路和传递函数：,19,6.延迟（时滞）环节,式中,延迟时间常数,延迟环节的输出是在经一个延迟时间后，完全复现输入信号。,传递函数为：,运动方程为：,20,2.2.3 传递函数的求取,通常可由实际系统求出微分方程组，然后对微分方程进行拉氏变换、消中间变量求得传递函数。对于已经求得输入、输出微分方程式的系统，可直接对该方程进行拉式变换求
8、得传递函数，如电路网络的传递函数,对于电路网络，可利用复阻抗的概念，直接写出拉氏变换关系的代数方程求解传递函数。,电路网络中的复阻抗：,电阻 ,电感 ,电容 ,21,例2-5 试求图2-11 所示有源电路网络的传递函数。,解 运算放大器输入和输出电路的复阻抗为,由运算放大器电路“虚地”的概念，有,则,所以传递函数为：,式中：,22,2.3 结构图,结构图是控制系统原理图与数学方程的结合。结构图既补充了控制系统原理图所缺乏的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算。,2.3.1 结构图的基本概念,结构图包含四种基本单元：,（）信号线,（）引出点,（3）比较点,（）方框,23,绘制系统框图的一般步骤为：
9、 ）列出描述系统各环节或元件的运动方程式，确定其传递函数。 ）绘出各环节或元件的方框，方框中示明其传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。 ）根据信号的流向关系，依次将各方框连接起来，构成系统的结构图。,24,例2-6 绘制图2-13所示两级RC滤波网络的结构图。,解 用复阻抗法直接列写出复域方程为：,25,根据方程可分别建立每个方程各变量间的传递方框：,连接各方框便得到两级RC滤波网络的结构图 ：,26,例2-7 试绘制如图2-15所示转速控制系统的结构图。系统的输入量为给定电压 ，输出量为电动机转速 。,例2-7 结构图,例2-7 原理图,27,2.3.2 结构图的等效变换及化简
10、,结构图等效变换的两条基本原则是： 1）变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变； 2）变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。,1. 基本连接的等效变换,结构图的基本连接方式有三种：串联、并联和反馈。,（1）串联,28,（2）并联,（3）反馈,29,其中， 称为闭环传递函数， 称为开环传递函数，它可定义为反馈信号与偏差信号之比。若为正反馈，式中分母对应的符号为“-”。,负反馈连接的等效传递函数为,若反馈通路的传递函数 ，称为单位反馈系统。单位反馈系统的开环传递函数即为其前向通道的传递函数 。,30,.比较点和引出点的移动,（）比较点的移动和互换,31,（）引出点的移动,（3）引出点和比较
11、点之间的移动,引出点和比较点之间不能简单地直接移动，在理论上图2-24的交换是可行的，但在实际应用中比较麻烦，容易出错，建议在结构图化简时尽量避免作这种交换。,32,例2-8 由结构图求例2-6两级RC滤波网络的传递函数。,解：,得传递函数：,33,例2-9 简化如图所示系统的框图，并求系统传递函数。,得传递函数：,34,例 简化如图所示系统的框图，并求系统传递函数。,35,2.3.3 闭环控制系统的传递函数,图2-28 闭环控制系统的典型结构,给定、扰动输入同时作用下闭环控制系统的总输出,36,3. 作用下的误差传递函数,4. 作用下的误差传递函数,给定、扰动输入同时作用下闭环控制系统的总误
12、差,同一系统的各传递函数具有相同的分母，即有相同的极点,37,2.4 信号流图,2.4.1 信号流图的符号及术语,.信号流图的符号,节点：系统中的一个变量（信号）称为节点，用小圆圈“。”表示。 支路：连接两节点的线段称为支路，用“”表示，其中的箭头方向表示信号的传递方向 增益：标注在支路旁的两个变量之间的数学关系，称为支路的增益，也称为传输。增益可以是常数，也可以是复函数。当增益为时，可以省略。,38,.信号流图的术语,输入节点：只有输出支路的节点叫做输入节点。它对应于自变量。 输出节点：只有输入支路的节点叫做输出节点。它对应于因变量。 混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点叫做混合节点。
13、 通道：凡从某一节点开始，沿支路的箭头方向穿过相连支路而终止在另一节点（或同一节点）的路径，称为通道。 前向通道：如从输入节点到输出节点的通道上，通过任何节点不多于一次，则该通道称为前向通道。 回路：如通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次，则该通道称为回路。 不接触回路：如一些回路之间没有任何公共点，则称它们为不接触回路。 回路增益：回路中各支路的增益乘积称为回路增益。 前向通道增益：前向通道中，各支路的增益乘积称为前向通道增益。,39,2.4.2 信号流图的等效变换规则,信号流图的变换规则： ）串联支路的总增益等于各串联支路增益之积。 ）并联支路的总增益等于各并联支路增
14、益之和。 ）混合节点可以用移动支路的方法消除。 ）回路可以用框图中反馈连接等效变换的规则消除。,如：,40,2.4.3 信号流图与结构图的关系,信号流图中的增益相当于结构图中的方框，而其节点相当于结构图中比较点和引出点的组合。,41,两级RC滤波网路的结构图和信号流图,在输入、输出、比较点后和引出点位置取节点,42,2.4.4 梅逊公式及其应用,两节点之间传递函数（增益）的梅逊公式为：,43,例2-11 用梅逊公式求图2-35所示系统的传递函数 。,解 由结构图画出该系统的信号流图如图所示。,系统有3个独立回路,其中，L2和L3两个回路互不接触，故特征式为,44,系统有3条前向通道,P3与回路
15、L3不相接触,因此，系统的传递函数为,45,练习 用梅逊公式求如图所示系统的传递函数 。,46,2.5 MATLAB中数学模型的表示,2.5.1 传递函数模型的MATLAB表示,1. 传递函数模型 (tf),g = tf(num,den),2. 零极点模型 (zp),g = zpk(z,p,k),3. 模型的转换,num,den=zp2tf (z,p,k) z ,p ,k = tf2zp(num,den),47,2.5.2 结构图模型的MATLAB表示,num,den=series (num1,den1,num2,den2),num,den=parallel(num1,den1,num2,den2),num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign),num,den=cloop (num1,den1, sign),串联：,反馈：,并联：,单位反馈：,其中，sign=1为正反馈，sign=-1为负反馈，缺省值为-1,其中，sign的含义与feedback同,举例：,
